Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами.

Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как на его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Другими словами, при каких значениях х из области определения X высказывательная форма А(х) Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА- множество истинности предложения А(х), ТВ- множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В, то, по всей видимости, ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В = ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №5 - открытая онлайн библиотека ТВ.

Докажем это равенство.

1. Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х) Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т е. высказывание А(а) Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В(а) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то, по определению конъюнкции, получаем, что каждое из высказываний А (а) и В(а) также истинно. Это означает, что а Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека ТА и а Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека ТВ. Следовательно, по определению пересечения множеств, а Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №5 - открытая онлайн библиотека ТВ. Таким образом, мы показали, что

ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №15 - открытая онлайн библиотека ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №5 - открытая онлайн библиотека ТВ,

2. Докажем обратное утверждение. Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №5 - открытая онлайн библиотека ТВ. По определению пересечения множеств это означает, что а Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека ТА и а Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека ТВ, откуда получаем, что А(а) и В(а) - истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а) Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х) Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В(х), т.е. а е Т Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека АА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В. Таким образом, мы доказали, что ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №5 - открытая онлайн библиотека ТВ Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №15 - открытая онлайн библиотека ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В.

Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №1 - открытая онлайн библиотека В = ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №5 - открытая онлайн библиотека ТВ, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной.

Приведем пример использования этого правила. Найдем множество истинности конъюнкции двух неравенств 1х > 10 и 4 + х < 12, т.е. множество истинности предложения 2х> 10 и 4 + х< 12. Пусть Т1- множество решений неравенства 2х > 10, а Т2- множество решений неравенства 4 + х < 12. Тогда Т1 = (5, +∞), Т2 = ( - ∞, 8). Чтобы найти те значения х, при которых истинны оба неравенства, надо найти пересечение их множеств решений: Т1 Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №5 - открытая онлайн библиотека Т2 = (5,8).

Видим, что выполнение этого задания свелось к решению системы неравенств. Вообще с точки зрения логики любая система неравенств есть конъюнкция неравенств, так же как и система уравнений есть конъюнкция уравнений.

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х) заданных на множестве X, обозначают A(x)vB(x). Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения X, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е. TAvB = ТА Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №31 - открытая онлайн библиотека ТВ.

Доказательство этого равенства проводится аналогично рассмотренному выше.

Приведем пример использования этого правила. Решим, например, уравнение (х - 2)∙(х + 5) = 0. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: x-2 = 0 Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №32 - открытая онлайн библиотека c + 5 = 0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решений первого и второго уравнений, т.е. {2} Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №31 - открытая онлайн библиотека {-5} = {-5, 2}.

Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) называют также совокупностью. Решить совокупность уравнений (неравенств) - это значит найти те значения переменных, при которых истинно хотя бы одно из уравнений (неравенств), входящих в нее.

Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств.

С другой стороны, характеристические свойства элементов пересечения и объединения множеств А и В представляют собой соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию характеристических свойств данных множеств:

А Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №5 - открытая онлайн библиотека В={х‌‌│х Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека А и х Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека B},A Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №31 - открытая онлайн библиотека B={x│x Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека A или х Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм - №6 - открытая онлайн библиотека В}, причем каждое свойство представляет собой высказывательную форму.