Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х

Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию уи ее производные или дифференциалы.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения, называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или интегралом)дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решениемдифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных условиях.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №1 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменным.

Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №2 - открытая онлайн библиотека Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №3 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №4 - открытая онлайн библиотека

Затем интегрируем обе части данного равенства:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №5 - открытая онлайн библиотека Пример.

Найти общее решение уравнения:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №6 - открытая онлайн библиотека Разделим переменные:

Проинтегрируем обе части равенства:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №7 - открытая онлайн библиотека

Или

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №8 - открытая онлайн библиотека - общее решение дифференциального уравнения.

Линейные уравнения.

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №9 - открытая онлайн библиотека

Линейные уравнения – это уравнения вида:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №10 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №11 - открытая онлайн библиотека Где и - функции от Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №12 - открытая онлайн библиотека. В частном случае

и могут быть постоянными величинами.

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №13 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №14 - открытая онлайн библиотека Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки и - новые функции от Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №15 - открытая онлайн библиотека . Дифференциала этого равенства по Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №15 - открытая онлайн библиотека

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №17 - открытая онлайн библиотека Пример.

Найти общее решение уравнения

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №18 - открытая онлайн библиотека Выполним замену Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №19 - открытая онлайн библиотека , и продифференцируем

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №20 - открытая онлайн библиотека это равенство по Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №15 - открытая онлайн библиотека , подставив в

yравнение, получим

Т. к. одну из вспомогательных функций Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №22 - открытая онлайн библиотека или Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №23 - открытая онлайн библиотека

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №24 - открытая онлайн библиотека можно выбрать произвольно, то в качестве Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №22 - открытая онлайн библиотека возьмем одно из частных решений уравнения

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №26 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №27 - открытая онлайн библиотека Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя получим:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №28 - открытая онлайн библиотека или Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №29 - открытая онлайн библиотека

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №30 - открытая онлайн библиотека

(произвольную постоянную С принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №31 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №32 - открытая онлайн библиотека Подставив теперь выражение для Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №22 - открытая онлайн библиотека в уравнение

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №34 - открытая онлайн библиотека получим

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №35 - открытая онлайн библиотека или разделяя переменные и

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №36 - открытая онлайн библиотека интегрируя, будем иметь

Зная Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №22 - открытая онлайн библиотека и Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №23 - открытая онлайн библиотека , найдем

Ряды.

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №39 - открытая онлайн библиотека Бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения, Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №40 - открытая онлайн библиотека называется числовым рядом.

Если этот предел существует и конечен , то ряд называют сходящимся.

Если же этот предел бесконечен или вовсе не существует, то ряд называют расходящимся.

Условие Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №41 - открытая онлайн библиотека называется необходимым условием сходимости ряда.

Признаки сходимости рядов:

1.Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами

u1+u2+u3+…+un+…

v1+v2+v3+…+v n+…

И пусть для всех значений k =1, 2 … выполняются неравенства Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №42 - открытая онлайн библиотека

Тогда:

А) если 1 ряд сходится, то и сходится 2 ряд;

Б) если 2 ряд расходится, то и расходится 1 ряд

2. Признаки Даламбера и Коши

Признак Даламбера:

Пусть дан ряд с положительными членами

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №43 - открытая онлайн библиотека u1+u2+u3+…+un+…

И пусть существует конечный предел

Тогда:

а) если Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №44 - открытая онлайн библиотека <1, то ряд сходится;

б) если Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №44 - открытая онлайн библиотека >1,то ряд расходится;

г) если Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №44 - открытая онлайн библиотека =1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым;

Признак Коши:

Пусть дан ряд с положительными членами

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №47 - открытая онлайн библиотека u1+u2+u3+…+un+…

И пусть существует конечный предел

Тогда:

а) если Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №44 - открытая онлайн библиотека <1, то ряд сходится;

б) если Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №44 - открытая онлайн библиотека >1,то ряд расходится;

г) если Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №44 - открытая онлайн библиотека =1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым;

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №51 - открытая онлайн библиотека Степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд вида:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №52 - открытая онлайн библиотека Эти ряды являются частным случаем функциональных рядов. Общий член ряда имеет вид:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №53 - открытая онлайн библиотека Числа cn называют коэффицентами степенного ряда. Рассматривают также ряды

Называемые степенными рядами в точке х0.

Ряд вида

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №54 - открытая онлайн библиотека

Называется рядом Тейлора.

Если в ряде Тейлора положим Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №55 - открытая онлайн библиотека , то получим частный случай ряда Тейлора , который называется рядом Маклорена.

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №56 - открытая онлайн библиотека … (1)

Пример:

Разложить функцию в ряд Маклорена.

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:noProof/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US" w:fareast="RU"/></w:rPr><m:t>x</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №57 - открытая онлайн библиотека

Решение. Найдем производные и значения функции и производных в точке х=0:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №58 - открытая онлайн библиотека

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №59 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №60 - открытая онлайн библиотека

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №61 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №62 - открытая онлайн библиотека

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №63 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №64 - открытая онлайн библиотека

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №65 - открытая онлайн библиотека Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №66 - открытая онлайн библиотека подставим полученные значения в формулу (1) , получим:

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №67 - открытая онлайн библиотека

Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №68 - открытая онлайн библиотека

Контрольные задания.

1.

11. Вычислить угол между векторами s w:val="28"/></w:rPr><m:t>a</m:t></m:r></m:e></m:acc></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №69 - открытая онлайн библиотека и Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №70 - открытая онлайн библиотека , если Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №71 - открытая онлайн библиотека и Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №72 - открытая онлайн библиотека

12. Вычислить длину вектора Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №73 - открытая онлайн библиотека - Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №74 - открытая онлайн библиотека , если Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №75 - открытая онлайн библиотека и Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №76 - открытая онлайн библиотека

13. Вычислить длину вектора Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №73 - открытая онлайн библиотека + Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №74 - открытая онлайн библиотека , если Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №75 - открытая онлайн библиотека , Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №76 - открытая онлайн библиотека

14. Вычислите проекцию вектора Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №73 - открытая онлайн библиотека на ось Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №82 - открытая онлайн библиотека , если угол между осью Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №82 - открытая онлайн библиотека и направлением вектора равен Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №84 - открытая онлайн библиотека , а | Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №73 - открытая онлайн библиотека |=12

15. Даны векторы Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №73 - открытая онлайн библиотека и Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №74 - открытая онлайн библиотека , угол между ними Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №88 - открытая онлайн библиотека . Построить вектор 2 Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №89 - открытая онлайн библиотека - Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №74 - открытая онлайн библиотека и определить его длину , если | Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №73 - открытая онлайн библиотека |=2 ; | Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №74 - открытая онлайн библиотека |=3

16. Даны векторы Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №93 - открытая онлайн библиотека и Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №94 - открытая онлайн библиотека . Найти длину вектора 3 Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №89 - открытая онлайн библиотека -2 Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №74 - открытая онлайн библиотека .

17. Дано векторы | Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №73 - открытая онлайн библиотека |=5 ; | Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №98 - открытая онлайн библиотека |=4 и Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №99 - открытая онлайн библиотека =( Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №100 - открытая онлайн библиотека ) = Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №101 - открытая онлайн библиотека .
Найти: а) Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №102 - открытая онлайн библиотека ; б) Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №103 - открытая онлайн библиотека .

18. Построить вектор Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №104 - открытая онлайн библиотека , если A Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №105 - открытая онлайн библиотека ; B Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №106 - открытая онлайн библиотека и найти его длину .

19. Найти скалярное произведение векторов Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №107 - открытая онлайн библиотека и Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №108 - открытая онлайн библиотека и угол между ними.

20. Найти модуль вектора Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №109 - открытая онлайн библиотека = 2 Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №73 - открытая онлайн библиотека -3 Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №74 - открытая онлайн библиотека , если | Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №73 - открытая онлайн библиотека |=2 ; | Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №98 - открытая онлайн библиотека |=1 и ( Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №114 - открытая онлайн библиотека )= Дифференциальные уравнения. Определение:дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х - №115 - открытая онлайн библиотека