Определение предела числовой последовательности

Определение предела числовой последовательности.

Число A называется пределом числовойпоследовательности Определение предела числовой последовательности - №1 - открытая онлайн библиотека = f(n), если для любого, сколь угодно малого, e > 0 существует такой номер Ne Îℕ, начиная с которого для всех n >Ne выполняется неравенство Определение предела числовой последовательности - №2 - открытая онлайн библиотека

Определение предела функции по Гейна.

Число А называется пределом функции, Определение предела числовой последовательности - №3 - открытая онлайн библиотека при Определение предела числовой последовательности - №4 - открытая онлайн библиотека , если для любой последовательности допустимых значений аргумента сходящийся к Определение предела числовой последовательности - №5 - открытая онлайн библиотека

Определение предела числовой последовательности - №6 - открытая онлайн библиотека

соответствующая последов. функции сходится к числу А, т.е.

Определение предела числовой последовательности - №7 - открытая онлайн библиотека

Определение предела числовой последовательности - №8 - открытая онлайн библиотека

Определение предела функции по Каши.

Число А называется пределом функции Определение предела числовой последовательности - №9 - открытая онлайн библиотека при стремящийся к Определение предела числовой последовательности - №5 - открытая онлайн библиотека , если для любого E>0 найдется Определение предела числовой последовательности - №11 - открытая онлайн библиотека зависящая от Е>0, такое что как только будет выполняться неравенство Определение предела числовой последовательности - №12 - открытая онлайн библиотека , так будет выполняться неравенство Определение предела числовой последовательности - №13 - открытая онлайн библиотека .

Теория о существовании конечного предела.

Определение предела числовой последовательности - №14 - открытая онлайн библиотека

Ый замечательный предел.

Предел отношения sinк аргументу =1, при условии что аргумент стремиться к 0. Определение предела числовой последовательности - №15 - открытая онлайн библиотека

Ой замечательный предел.

Определение предела числовой последовательности - №16 - открытая онлайн библиотека

Все логарифмические функции пропорциональны друг другу.

Определение непрерывности функции в точке.

Функция y=f(x) –называется непрерывной в точке Определение предела числовой последовательности - №17 - открытая онлайн библиотека , если

1) она определена в точке Определение предела числовой последовательности - №17 - открытая онлайн библиотека

Определение предела числовой последовательности - №19 - открытая онлайн библиотека

Определение предела числовой последовательности - №20 - открытая онлайн библиотека

Точки разрыва функции. 1ого и 2ого рода.

Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется в точке Определение предела числовой последовательности - №5 - открытая онлайн библиотека , то Определение предела числовой последовательности - №5 - открытая онлайн библиотека - точка разрыва 1ого разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределах не существует или равен Определение предела числовой последовательности - №23 - открытая онлайн библиотека , то Определение предела числовой последовательности - №5 - открытая онлайн библиотека - точка разрыва 2ого разрыва.

Производная.

Производной называется предел отношения преращения функций к преращению аргумента при условии , что последний стремится к нулю.

Определение предела числовой последовательности - №25 - открытая онлайн библиотека

Производная сложной функции.

Теорема 1.Если Определение предела числовой последовательности - №26 - открытая онлайн библиотека дифференциирована в точке x,а функция Определение предела числовой последовательности - №27 - открытая онлайн библиотека в соответствующей точке Определение предела числовой последовательности - №28 - открытая онлайн библиотека то сложная функция Определение предела числовой последовательности - №29 - открытая онлайн библиотека , то следующая функция имеет производную определяющую формулой :

Определение предела числовой последовательности - №30 - открытая онлайн библиотека

Т.е. в начале берут производную по промежуточному аргументу u ,а затем от него по независимой переменной x.

Производная функции задана параметрически.

Теорема 2.Пусть функция задана параметрически , где функции Определение предела числовой последовательности - №31 - открытая онлайн библиотека –дифференциируемы ,тогда Определение предела числовой последовательности - №32 - открытая онлайн библиотека

Пример:

Пусть

Определение предела числовой последовательности - №33 - открытая онлайн библиотека

Определение предела числовой последовательности - №34 - открытая онлайн библиотека =3 Определение предела числовой последовательности - №35 - открытая онлайн библиотека

Определение предела числовой последовательности - №36 - открытая онлайн библиотека = 3 Определение предела числовой последовательности - №37 - открытая онлайн библиотека ;

Определение предела числовой последовательности - №38 - открытая онлайн библиотека = Определение предела числовой последовательности - №39 - открытая онлайн библиотека ;

Определение предела числовой последовательности - №40 - открытая онлайн библиотека ’= -ctgt

Производные высших порядков.

Производной 2ого порядка для функции Определение предела числовой последовательности - №41 - открытая онлайн библиотека называют производную от ее производной первого порядка Определение предела числовой последовательности - №42 - открытая онлайн библиотека

Производной n-го порядка называют ее производную от n – 1ого порядка.

Исследование функции на монотонность, точки экспремула.

Определение предела числовой последовательности - №43 - открытая онлайн библиотека

Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

Функция равная y=f(x) называется выпуклой вверх на интервале [a;в], если касательная, проведенная в любой точке из интервала [a;в] лежит выше графика функции.

Функция равная y=f(x) называется выпуклой вниз на интервале [a;в], если касательная, проведенная к графику функции в любой точке Определение предела числовой последовательности - №44 - открытая онлайн библиотека [a;в] лежит ниже графика функции.

Линейная операция над векторами.

Пусть вектора Определение предела числовой последовательности - №45 - открытая онлайн библиотека заданы своими координатами Определение предела числовой последовательности - №46 - открытая онлайн библиотека

1. a+b= ( Определение предела числовой последовательности - №47 - открытая онлайн библиотека

2. a-b= ( Определение предела числовой последовательности - №48 - открытая онлайн библиотека

3. K Определение предела числовой последовательности - №49 - открытая онлайн библиотека = (K Определение предела числовой последовательности - №50 - открытая онлайн библиотека k Определение предела числовой последовательности - №51 - открытая онлайн библиотека

Если вектор а=b Определение предела числовой последовательности - №52 - открытая онлайн библиотека

Если вектор a Определение предела числовой последовательности - №53 - открытая онлайн библиотека

Есть условие копланарности векторов.

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Определение предела числовой последовательности - №54 - открытая онлайн библиотека

Определение предела числовой последовательности.

Число A называется пределом числовойпоследовательности Определение предела числовой последовательности - №1 - открытая онлайн библиотека = f(n), если для любого, сколь угодно малого, e > 0 существует такой номер Ne Îℕ, начиная с которого для всех n >Ne выполняется неравенство Определение предела числовой последовательности - №2 - открытая онлайн библиотека