Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений

Определение 20.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №1 - открытая онлайн библиотека ,

которое содержит независимое переменное x, неизвестную функцию y(x), и ее производные вплоть до n-го порядка включительно.

Дифференциальное уравнение разрешено относительно производной n-го порядка , если его можно представить в виде

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека .

Определение 20.2. Решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка называется всякая функция y(x), которая обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Определение 20.3. Множество решений обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка вида

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №3 - открытая онлайн библиотека ,

где Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №4 - открытая онлайн библиотека ‑ произвольные постоянные, называется общим решением.

Каждый выбор этих постоянных дает частное решение. График частного решения называется интегральной кривой, а множество всех интегральных кривых называется семейством интегральных кривых.

Часто обыкновенное дифференциальное уравнение n‑го порядка можно свести к уравнению вида

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №5 - открытая онлайн библиотека ,

где Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №4 - открытая онлайн библиотека ‑ произвольные постоянные.

Оно называется общим интегралом. Каждый выбор этих постоянных дает частный интеграл Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №7 - открытая онлайн библиотека .

Определение 20.4. Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка и требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №8 - открытая онлайн библиотека ,

тогда говорят, что задана задача Коши:

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека ,

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №8 - открытая онлайн библиотека .

Для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка сформулируем теорему существования и единственности решения задачи Коши:

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №11 - открытая онлайн библиотека

Теорема 20.1. Пусть функция Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №12 - открытая онлайн библиотека непрерывна в замкнутой области D переменных Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №13 - открытая онлайн библиотека , содержащей точку Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №14 - открытая онлайн библиотека , тогда, если частная производная этой функции по y непрерывна на этом множестве, то задача Коши на некотором отрезке Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №15 - открытая онлайн библиотека имеет решение и это решение единственное.

Пример 20.1. Задача Коши

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №16 - открытая онлайн библиотека

имеет единственное решение Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №17 - открытая онлайн библиотека , так как в любой замкнутой области, содержащей точку (0,1) функция Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека и ее частная производная по y

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №19 - открытая онлайн библиотека

непрерывны.

Пример 20.2. Задача Коши

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №20 - открытая онлайн библиотека .

имеет два решения Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №21 - открытая онлайн библиотека и Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №22 - открытая онлайн библиотека . Правая часть уравнения Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №23 - открытая онлайн библиотека непрерывна в любой окрестности точки (0,0), но производная по y

Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №24 - открытая онлайн библиотека

терпит разрыв в точке (0,0). Поэтому условия применимости теоремы 1 нарушены. Возможность существования нескольких решений задачи Коши определяется теоремой Пеано.

Теорема 20.2. (Пеано) Если Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №25 - открытая онлайн библиотека непрерывна на замкнутой области D переменных x, y, то при условии, что точка Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №26 - открытая онлайн библиотека принадлежит этой области, задача Коши имеет хотя бы одно решение в некоторой окрестности точки Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений - №27 - открытая онлайн библиотека .


ЛЕКЦИЯ № 21. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ