Методические рекомендации к выполнению контрольных работ

Задание 1.

Решение задачи типа 1-10.

Решить систему уравнений следующими методами:

а) методом Крамера,

б) матричным методом.

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №1 - открытая онлайн библиотека

Решение:

а) Составим определитель системы:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №2 - открытая онлайн библиотека

Для его вычисления воспользуемся свойством определителя о том, что величина определителя не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умно­жен­ной(го) на число.

(Первую строку умножаем на (-1) и прибавляем ко второй и к третьей строке).

Получим: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №3 - открытая онлайн библиотека

Применяя свойство о разложении определителя по элементам любой строки (столбца) (в данном случае по элементам первого столбца), получим:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №4 - открытая онлайн библиотека

Составим вспомогательные определители и вычислим их аналогичным образом:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №5 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №6 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №7 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №8 - открытая онлайн библиотека вычисляются по формулам:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №9 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №10 - открытая онлайн библиотека

б) Для решения системы матричным методом введем обозначения матриц:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №11 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №12 - открытая онлайн библиотека (1)

Т.к. Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №13 - открытая онлайн библиотека то для матрицы А существует обратная матрица А-1. Найдем обратную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения всех элементов главного определителя Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №14 - открытая онлайн библиотека системы

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №15 - открытая онлайн библиотека

Союзной матрицей А* для матрицы А будет матрица:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №16 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №17 - открытая онлайн библиотека то Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №18 - открытая онлайн библиотека

Учитывая равенство (1), имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №19 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №20 - открытая онлайн библиотека

Задание 2.

Решение задачи типа 11-20.

Выясните, образуют ли вектора Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №21 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №22 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №23 - открытая онлайн библиотека базис. Если образуют, то разложить вектор Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №24 - открытая онлайн библиотека по этому базису.

Решение:

Вычисляем Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №25 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, векторы Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №26 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №27 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №28 - открытая онлайн библиотека образуют базис, и вектор Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №29 - открытая онлайн библиотека линейно выражается через базисные векторы: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №30 - открытая онлайн библиотека

или в координатной форме

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №31 - открытая онлайн библиотека

Решаем полученную систему по формулам Крамера.

Находим: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №32 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №33 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №34 - открытая онлайн библиотека поэтому

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №35 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №36 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №37 - открытая онлайн библиотека

Задание 3.

Решение задачи типа 21-30.

Даны координаты вершин пирамиды Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №38 - открытая онлайн библиотека :

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №39 - открытая онлайн библиотека

Найти:

1. Длину ребра Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №40 - открытая онлайн библиотека , если

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №41 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №42 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №43 - открытая онлайн библиотека

2. Угол между ребрами Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №40 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №45 - открытая онлайн библиотека , если

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №46 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Найдем координаты векторов по формулам: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №47 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №48 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №49 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №50 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №51 - открытая онлайн библиотека

Угол между векторами Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №49 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №51 - открытая онлайн библиотека вычисляется по формуле: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №54 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №55 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №56 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №57 - открытая онлайн библиотека

3. Угол между ребром Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №45 - открытая онлайн библиотека и гранью Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №59 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №51 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №61 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Найдем уравнение плоскости, содержащей точки Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №62 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №63 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №64 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №65 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №66 - открытая онлайн библиотека - уравнение плоскости.

Вектор нормали к этой плоскости имеет координаты Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №67 - открытая онлайн библиотека

Косинус угла между плоскостью и вектором равен синусу угла между этим вектором и вектором нормали.

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №67 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №51 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №70 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №71 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №72 - открытая онлайн библиотека

4. Площадь грани Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №59 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Грань Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №74 - открытая онлайн библиотека - треугольник, его площадь вычислим по формуле

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №75 - открытая онлайн библиотека , где Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №76 - открытая онлайн библиотека - модуль векторного произведения двух векторов (сторон треугольника), по определению он равен произведению длин двух векторов на синус угла между ними, т.е. Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №77 - открытая онлайн библиотека .

Найдем векторное произведение векторов Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №78 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №79 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №49 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №81 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №82 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №83 - открытая онлайн библиотека

Результатом будет вектор с координатами Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №84 - открытая онлайн библиотека , найдем его длину

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №85 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №86 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №87 - открытая онлайн библиотека

5. Объем пирамиды.

Решение:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №88 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №88 - открытая онлайн библиотека , где - Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №90 - открытая онлайн библиотека - смешанное произведение векторов Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №49 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №82 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №51 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №94 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №95 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №96 - открытая онлайн библиотека

6. Уравнение прямой Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №97 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Каноническое уравнение прямой имеет вид:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №98 - открытая онлайн библиотека , где Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №99 - открытая онлайн библиотека - точка, принадлежащая прямой - Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №100 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №101 - открытая онлайн библиотека - направляющий вектор этой прямой – Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №49 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №103 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №104 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №105 - открытая онлайн библиотека

7. Уравнение плоскости Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №106 - открытая онлайн библиотека .

См. пункт 3)

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №66 - открытая онлайн библиотека - уравнение плоскости.

Ответ: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №66 - открытая онлайн библиотека

Уравнение высоты, опущенной из вершины Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №109 - открытая онлайн библиотека на грань Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №106 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №111 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №112 - открытая онлайн библиотека

Вектор нормали к этой плоскости имеет координаты Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №67 - открытая онлайн библиотека , т.е. он и будет направляющим вектором высоты

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №114 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №115 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №116 - открытая онлайн библиотека

Задание 4.

Решение задачи типа 31-40

Даны две вершины Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №117 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №118 - открытая онлайн библиотека и точка Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №119 - открытая онлайн библиотека пересечения медиан треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.

Решение:

а) Найдем точку пересечения стороны АВ с медианой проведенной к ней.

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №120 - открытая онлайн библиотека

б) Найдем координаты точки С из того факта, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Обозначим координаты (x,y).

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №121 - открытая онлайн библиотека

в) Найдем координаты вектора Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №122 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №117 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №118 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №125 - открытая онлайн библиотека

Направляющим вектором высоты, проведенной к стороне АВ будет вектор, перпендикулярный найденному, т.е., например

(-1;1).

С(-2;3)

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №126 - открытая онлайн библиотека

Эта прямая совпадает с прямой, содержащей медиану АМ.

Ответ: y = -x+1.

Задание 5.

Решение задачи типа 41-50

Привести уравнение кривой второго порядка Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №127 - открытая онлайн библиотека к каноническому виду и построить кривую.

Решение:

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №128 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №129 - открытая онлайн библиотека вынесем за скобки: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №130 - открытая онлайн библиотека .

Выделим полный квадрат: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №131 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №132 - открытая онлайн библиотека . Разделим обе части равенства на 25: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №133 - открытая онлайн библиотека . Запишем полученное уравнение в каноническом виде: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №134 - открытая онлайн библиотека .

Выполним параллельный перенос осей координат по формулам Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №135 - открытая онлайн библиотека . При таком преобразовании начало координат переносится в точку Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №136 - открытая онлайн библиотека , уравнение эллипса принимает канонический вид Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №137 - открытая онлайн библиотека .

В нашем примере Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №138 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №139 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №140 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №141 - открытая онлайн библиотека .

Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №142 - открытая онлайн библиотека и полуосями Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №143 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №144 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №145 - открытая онлайн библиотека

Задание 6.

Решение задачи типа 51-60.

Линия задана уравнением Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №146 - открытая онлайн библиотека в полярной системе координат. Требуется построить линию по точкам, начиная от Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №147 - открытая онлайн библиотека до Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №148 - открытая онлайн библиотека и придавая Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №149 - открытая онлайн библиотека значения через промежуток Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №150 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №151 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №152 - открытая онлайн библиотека

Задание 7.

Дано комплексное число Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №153 - открытая онлайн библиотека . Записать это число в алгебраической и тригонометрической формах.

Решение:

Чтобы записать число z в алгебраической форме Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №154 - открытая онлайн библиотека , умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №155 - открытая онлайн библиотека

Итак, алгебраическая форма числа Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №156 - открытая онлайн библиотека .

Запишем данное число в тригонометрической форме. Имеем: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №157 - открытая онлайн библиотека . Получим:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №158 - открытая онлайн библиотека ; Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №159 - открытая онлайн библиотека ; Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №160 - открытая онлайн библиотека .

Угол, для которого косинус положителен, а синус отрицателен, находится в четвертой четверти. Следовательно, Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №161 - открытая онлайн библиотека . Число z в тригонометрической форме запишется в виде: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №162 - открытая онлайн библиотека

Задание 8.

Решение задачи типа 71-80

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №163 - открытая онлайн библиотека б) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №164 - открытая онлайн библиотека
в) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №165 - открытая онлайн библиотека г) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №166 - открытая онлайн библиотека
д) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №167 - открытая онлайн библиотека е) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №167 - открытая онлайн библиотека
ж) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №169 - открытая онлайн библиотека

Решение:

а) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №163 - открытая онлайн библиотека

Имеем неопределенность вида Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №171 - открытая онлайн библиотека . Для ее раскрытия разложим квадратные трехчлены на линейные множители по формуле Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №172 - открытая онлайн библиотека

Имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №173 - открытая онлайн библиотека

Сократив общий множитель Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №174 - открытая онлайн библиотека , получим:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №175 - открытая онлайн библиотека

б) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №164 - открытая онлайн библиотека

Имеем неопределенность вида Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №171 - открытая онлайн библиотека . Для ее раскрытия умножим, и числитель, и знаменатель данной дроби на выражение, сопряженное числителю (знаменателю), а именно: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №178 - открытая онлайн библиотека . Имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №179 - открытая онлайн библиотека

Для упрощения числителя воспользуемся формулой: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №180 - открытая онлайн библиотека , где Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №181 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №182 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №183 - открытая онлайн библиотека

Разложим первый сомножитель знаменателя по формуле: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №184 - открытая онлайн библиотека , где Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №185 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №186 - открытая онлайн библиотека

в) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №165 - открытая онлайн библиотека

Если числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические многочлены и имеется неопределенность вида Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №188 - открытая онлайн библиотека , то для ее раскрытия и числитель, и знаменатель делят на х в старшей степени. В данном случае старшая степень 3, поэтому, и числитель, и знаменатель делим на Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №189 - открытая онлайн библиотека , имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №190 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №191 - открытая онлайн библиотека

(по теореме о пределе частного, имеем)

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №192 - открытая онлайн библиотека

(по теореме о пределе суммы, имеем)

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №193 - открытая онлайн библиотека

г) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №166 - открытая онлайн библиотека

Имеем также неопределенность вида Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №188 - открытая онлайн библиотека .

Старшая степень х равна 5. Поэтому делим и числитель, и знаменатель на Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №196 - открытая онлайн библиотека . Имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №197 - открытая онлайн библиотека

т.к. предел числителя равен 2, а знаменателя 0.

д) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №167 - открытая онлайн библиотека

Для вычисления данного предела, и числитель, и знаменатель дроби делим на Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №189 - открытая онлайн библиотека , имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №200 - открытая онлайн библиотека

е) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №167 - открытая онлайн библиотека

Имеем неопределенность вида: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №202 - открытая онлайн библиотека .

Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №203 - открытая онлайн библиотека или Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №204 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №205 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №206 - открытая онлайн библиотека

ж) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №169 - открытая онлайн библиотека

Имеем неопределенность вида Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №171 - открытая онлайн библиотека . Для ее раскрытия будем использовать первый замечательный предел: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №209 - открытая онлайн библиотека

Для этого сделаем следующие преобразования:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №210 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №211 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №212 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №213 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №214 - открытая онлайн библиотека

Задание 9.

Решение задачи типа 81-90

Исследовать на непрерывность, выяснить характер точек разрыва и изобразить графически следующие функции

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №215 - открытая онлайн библиотека

Решение:

а) Построим график данной функции, составляющими которой являются линейная функция Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №216 - открытая онлайн библиотека , квадратичная функция Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №217 - открытая онлайн библиотека (на промежутке Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №218 - открытая онлайн библиотека ) и линейная функция Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №219 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №220 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №221 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №222 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №223 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №190 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №225 - открытая онлайн библиотека

 
  Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №226 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №227 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №228 - открытая онлайн библиотека х

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №217 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №230 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №231 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №190 - открытая онлайн библиотека

Исследуем функцию на непрерывность. К точкам, в которых возможно функция терпит разрыв, относятся точки Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №233 - открытая онлайн библиотека (точки, где функция меняет свое аналитическое задание).

Для того, чтобы функция в точке Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №234 - открытая онлайн библиотека была непрерывна необходимо и достаточно, чтобы

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №235 - открытая онлайн библиотека

Проверим это условие для точки Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №236 - открытая онлайн библиотека :

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №237 - открытая онлайн библиотека

Условие выполнено, значит функция в точке Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №238 - открытая онлайн библиотека непрерывна.

Аналогичным образом исследуем на непрерывность в точке Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №239 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №240 - открытая онлайн библиотека

Функция в точке Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №241 - открытая онлайн библиотека терпит разрыв I рода.

Задание 10.

Решение задачи типа 91-100

Найти производные следующих функций:

а) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №242 - открытая онлайн библиотека б) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №243 - открытая онлайн библиотека в) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №244 - открытая онлайн библиотека г) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №245 - открытая онлайн библиотека

Решение:

а) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №242 - открытая онлайн библиотека

При нахождении производной данной функции воспользуемся следующими формулами: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №247 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №248 - открытая онлайн библиотека

Имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №249 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №250 - открытая онлайн библиотека

б) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №243 - открытая онлайн библиотека

При вычислении производной данной функции воспользуемся формулой: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №252 - открытая онлайн библиотека

Имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №253 - открытая онлайн библиотека (*)

При вычислении производной первого сомножителя воспользуемся формулой Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №248 - открытая онлайн библиотека , где

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №255 - открытая онлайн библиотека

При вычислении производной второго сомножителя воспользуемся следующей формулой: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №256 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №257 - открытая онлайн библиотека

Подставляя вычисленные производные в равенство (*), имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №258 - открытая онлайн библиотека

в) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №244 - открытая онлайн библиотека

В данном случае сначала воспользуемся формулой:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №260 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №261 - открытая онлайн библиотека

Производную числителя и знаменателя вычисляем, используя формулу Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №248 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №263 - открытая онлайн библиотека ,

т.к. Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №264 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №265 - открытая онлайн библиотека .

В результате:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №266 - открытая онлайн библиотека .

Задание 11.

Решение задачи типа 101-110.

Найти Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №267 - открытая онлайн библиотека для функции, заданной параметрически:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №268 - открытая онлайн библиотека

Решение:

По формуле Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №269 - открытая онлайн библиотека

Имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №270 - открытая онлайн библиотека .

Для нахождения производной второго порядка воспользуемся формулой Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №271 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №272 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №273 - открытая онлайн библиотека

Задание 12.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию. На основании результатов исследования построить график этой функции Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №274 - открытая онлайн библиотека

Решение:

1) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №275 - открытая онлайн библиотека .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3) асимптоты

а) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №276 - открытая онлайн библиотека ,

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №277 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №278 - открытая онлайн библиотека -вертикальная асимптота.

б) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №37 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №280 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №281 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно, Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №282 - открытая онлайн библиотека - наклонная асимптота.

4) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №283 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №284 - открытая онлайн библиотека при Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №285 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №286 - открытая онлайн библиотека не существует при Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №287 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №288 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №289 - открытая онлайн библиотека -точка максимума функции.

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №290 - открытая онлайн библиотека -точка минимума функции.

5) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №291 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №292 - открытая онлайн библиотека не существует при Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №287 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №294 - открытая онлайн библиотека

6) Найдем точки пересечения с осями:

При Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №295 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №296 - открытая онлайн библиотека .

При Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №297 - открытая онлайн библиотека квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №298 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №299 - открытая онлайн библиотека

Задание13.

Найти частные производные Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №300 - открытая онлайн библиотека функции Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №301 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Считая Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №225 - открытая онлайн библиотека постоянной (тогда и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №303 - открытая онлайн библиотека const), находим:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №304 - открытая онлайн библиотека

Считая Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №305 - открытая онлайн библиотека постоянной, имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №306 - открытая онлайн библиотека

Задание 14.

Найти неопределенные интегралы.

а) Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №307 - открытая онлайн библиотека .

Решение:

Т.к. Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №308 - открытая онлайн библиотека , то

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №309 - открытая онлайн библиотека

Проверка:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №310 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №311 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Положим Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №312 - открытая онлайн библиотека

Найдем Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №313 - открытая онлайн библиотека

Применяя формулу интегрирования по частям Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №314 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №315 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №316 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Данная подынтегральная дробь – неправильная, поэтому сначала выделим целую часть Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №317 - открытая онлайн библиотека

Представим дробь Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №318 - открытая онлайн библиотека в виде суммы простейших дробей:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №319 - открытая онлайн библиотека

Тогда Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №320 - открытая онлайн библиотека , следовательно Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №321 - открытая онлайн библиотека .

Получим

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №322 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №323 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Применим формулу понижения степени:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №324 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №325 - открытая онлайн библиотека

Задание 15.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №326 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №327 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой, решив систему уравнений:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №328 - открытая онлайн библиотека

Решая эту систему получим Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №329 - открытая онлайн библиотека Это и будут пределы интегрирования. Это и будут пределы интегрирования.

Итак, данные линии пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №330 - открытая онлайн библиотека

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой равна:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №331 - открытая онлайн библиотека

Задание 16.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №332 - открытая онлайн библиотека и осью Oх.

Решение:

Графиком функции Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №332 - открытая онлайн библиотека является парабола с вершиной в точке (1;1), пересекающая ось Oх в точках (0;0) и (2;0). Таким образом, отрезок интегрирования – [0;2].

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №334 - открытая онлайн библиотека

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oх, фигуры ограниченной линиями Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №335 - открытая онлайн библиотека и прямыми Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №336 - открытая онлайн библиотека вычисляется по формуле: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №337 - открытая онлайн библиотека .

Получим: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №338 - открытая онлайн библиотека

Задание 17.

Вычислить несобственный интеграл Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №339 - открытая онлайн библиотека или доказать его расходимость.

Решение:

В силу определения имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №340 - открытая онлайн библиотека

Интеграл сходится.

Задание 18.

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №341 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными т.к. коэффициент при dx представляет собой произведение двух сомножителей: ex зависит только от x, а (1+y2) – только от y. Аналогично, коэффициент при dy тоже является произведением двух сомножителей: (1+ex) зависит только от x, а второй сомножитель – y.

Чтобы привести его к виду с разделенными переменными, разделим все члены уравнения на (1+ex)(1+y2), в результате получим: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №342 - открытая онлайн библиотека

Решим это уравнение. (Заметим, что постоянную С можно записывать как Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №343 - открытая онлайн библиотека ).Здесь произвольную постоянную удобнее взять в виде Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №344 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №345 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №346 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №347 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №348 - открытая онлайн библиотека -это общий интеграл исходного уравнения.

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №349 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №350 - открытая онлайн библиотека

Введем замену Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №351 - открытая онлайн библиотека . Тогда Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №352 - открытая онлайн библиотека а Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №353 - открытая онлайн библиотека

Заданное уравнение принимает вид:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №354 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №355 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №356 - открытая онлайн библиотека

Возвращаясь, к замене Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №351 - открытая онлайн библиотека получим:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №358 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №359 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Заданное уравнение является ЛНДУ. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №360 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №361 - открытая онлайн библиотека . После этой подстановки данное уравнение примет вид: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №362 - открытая онлайн библиотека

Вынесем за скобки u:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №363 - открытая онлайн библиотека (*)

Найдем одну из функций v, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №364 - открытая онлайн библиотека . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №365 - открытая онлайн библиотека

Подставим найденную функцию в уравнение (*).

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №366 - открытая онлайн библиотека

Т.к. y = uv, то Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №367 - открытая онлайн библиотека - общее решение данного уравнения.

Задание 19.

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №368 - открытая онлайн библиотека

Общее решение этого уравнения находим последовательным трехкратным интегрированием. Имеем:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №369 - открытая онлайн библиотека ,

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №370 - открытая онлайн библиотека ,

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №371 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №372 - открытая онлайн библиотека

Полагаем Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №373 - открытая онлайн библиотека , тогда Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №374 - открытая онлайн библиотека и уравнение примет вид:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №375 - открытая онлайн библиотека .

Интегрируя получим: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №376 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №377 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно, Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №378 - открытая онлайн библиотека .

Интегрируя последовательно три раза, получим:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №379 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №380 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №381 - открытая онлайн библиотека .

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №382 - открытая онлайн библиотека

Полагаем Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №383 - открытая онлайн библиотека , тогда

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №384 - открытая онлайн библиотека .

Уравнение примет вид: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №385 - открытая онлайн библиотека .

Решая его получим:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №386 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №387 - открытая онлайн библиотека или Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №388 - открытая онлайн библиотека , Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №389 - открытая онлайн библиотека или Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №390 - открытая онлайн библиотека .

Решая уравнение, мы делили его на Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №391 - открытая онлайн библиотека и на Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №392 - открытая онлайн библиотека .

Но Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №393 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №394 - открытая онлайн библиотека могут быть включены в общее решение, если считать, что Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №395 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №396 - открытая онлайн библиотека могут принимать значение ноль.

Задание 20.

Решить задачу Коши:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №397 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Характеристическое уравнение: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №398 - открытая онлайн библиотека имеет корни Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №399 - открытая онлайн библиотека

Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные им соответствуют частные решения Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №400 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, общее решение Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №401 - открытая онлайн библиотека

Подставляя начальные условия в найденное общее решение и его производную:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №402 - открытая онлайн библиотека

получим систему: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №403 - открытая онлайн библиотека

Решая ее, получим: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №404 - открытая онлайн библиотека .

Тогда частное решение примет вид: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №405 - открытая онлайн библиотека

Задание 21.

Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №406 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №407 - открытая онлайн библиотека

характеристическое уравнение Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №408 - открытая онлайн библиотека имеет корни Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №409 - открытая онлайн библиотека

Поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №410 - открытая онлайн библиотека

Частное решение будем искать в виде:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №411 - открытая онлайн библиотека

Найдем коэффициенты А, В и С, для этого Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №292 - открытая онлайн библиотека и Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №413 - открытая онлайн библиотека подставим в исходное уравнение.

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №414 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №415 - открытая онлайн библиотека

Отсюда Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №416 - открытая онлайн библиотека - частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №417 - открытая онлайн библиотека

Задание 22.

Найти общее решение системы уравнений: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №418 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Составим характеристическое уравнение системы

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №419 - открытая онлайн библиотека или Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №420 - открытая онлайн библиотека

При Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №421 - открытая онлайн библиотека уравнения для определения собственного вектора имеют вид:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №422 - открытая онлайн библиотека

и сводятся к одному уравнению: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №423 - открытая онлайн библиотека .

Из которого определяем вектор, например, Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №424 - открытая онлайн библиотека . При Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №425 - открытая онлайн библиотека получаем уравнения

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №426 - открытая онлайн библиотека или Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №427 - открытая онлайн библиотека

Это уравнение определяет вектор, например, Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №428 - открытая онлайн библиотека .

Получаем функциональную систему решений:

при Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №429 - открытая онлайн библиотека

при Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №430 - открытая онлайн библиотека

Общее решение системы имеет вид:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №431 - открытая онлайн библиотека

Задание 23.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры D, ограниченной линиями Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №432 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №433 - открытая онлайн библиотека

Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №434 - открытая онлайн библиотека и

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №435 - открытая онлайн библиотека

где Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №436 - открытая онлайн библиотека вычисляется с помощью интегрирования по частям:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №437 - открытая онлайн библиотека Следовательно, Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №438 - открытая онлайн библиотека

Задание 24.

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №439 - открытая онлайн библиотека . Сделать чертеж проекции данного тела на плоскость Оху

Решение:

Найдем проекцию тела на плоскость Оху

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №440 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №441 - открытая онлайн библиотека

Задание 25

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №442 - открытая онлайн библиотека где Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №443 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №444 - открытая онлайн библиотека . Если Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №444 - открытая онлайн библиотека задана уравнением Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №446 - открытая онлайн библиотека где функция Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №447 - открытая онлайн библиотека имеет непрерывную производную Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №448 - открытая онлайн библиотека для Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №449 - открытая онлайн библиотека , то

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №450 - открытая онлайн библиотека

Если Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №444 - открытая онлайн библиотека задана параметрически: Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №452 - открытая онлайн библиотека где функции Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №453 - открытая онлайн библиотека имеют непрерывные производные Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №454 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №455 - открытая онлайн библиотека , для Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №456 - открытая онлайн библиотека то

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №457 - открытая онлайн библиотека

Если Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №444 - открытая онлайн библиотека задана в полярных координатах уравнением Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №459 - открытая онлайн библиотека и функция Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №460 - открытая онлайн библиотека имеет непрерывную производную Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №461 - открытая онлайн библиотека для Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №37 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №463 - открытая онлайн библиотека , то

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №464 - открытая онлайн библиотека

В рассмотренном примере используется явное задание кривой Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №444 - открытая онлайн библиотека уравнением Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №466 - открытая онлайн библиотека . Поэтому, используя первый способ сведения интеграла по длине дуги к определенному, получим:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №467 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №468 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №469 - открытая онлайн библиотека

Задание 26.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №470 - открытая онлайн библиотека вдоль дуги Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №444 - открытая онлайн библиотека дуга параболы Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №472 - открытая онлайн библиотека от точки Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №473 - открытая онлайн библиотека до точки Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №474 - открытая онлайн библиотека Сделать чертеж.

Решение:

Воспользуемся формулой:

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №475 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №476 - открытая онлайн библиотека

y Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №477 - открытая онлайн библиотека

 
  Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №478 - открытая онлайн библиотека

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №479 - открытая онлайн библиотека A B

 
  Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №480 - открытая онлайн библиотека

1 2 x

Задание 27

Даны векторное поле Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №481 - открытая онлайн библиотека и плоскость Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №482 - открытая онлайн библиотека которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №483 - открытая онлайн библиотека Пусть Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №484 - открытая онлайн библиотека - основание пирамиды, принадлежащие плоскости Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №485 - открытая онлайн библиотека Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №486 - открытая онлайн библиотека - контур, ограничивающий Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №487 - открытая онлайн библиотека n-нормаль к Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №488 - открытая онлайн библиотека направленная вне пирамиды Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №483 - открытая онлайн библиотека Вычислить:

1) поток векторного поля Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №490 - открытая онлайн библиотека через поверхности Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №484 - открытая онлайн библиотека внаправлениинормали n;

2) циркуляцию векторного поля Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №490 - открытая онлайн библиотека по замкнутому контуру Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №486 - открытая онлайн библиотека непосредственно и применив формулу Стокса к контуру Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №486 - открытая онлайн библиотека и ограниченной им поверхности Методические рекомендации к выполнению контрольных работ - №484 - открытая онлайн библиотека с нормалью n;