Схема исследования функций

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить четность, нечетность, периодичность.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки

разрыва и выяснить характер разрывов.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти нули функции (у = 0) и интервалы знакопостоянства

(у > 0, y < 0).

6. Найти критические точки (у' = 0) и интервалы монотонности

(у' > 0, y' < 0).

7. Найти экстремумы функции.

8. Найти критические точки, в которых у'' = 0, и интервалы выпуклости и вогнутости.

9. Найти точки перегиба.

10. Выполнить схематический чертёж.

Пример выполнения задания 4

Исследуем функцию: Схема исследования функций - №1 - открытая онлайн библиотека и построим её график.

Решение.

Найдем первую и вторую производные этой функции.

Схема исследования функций - №2 - открытая онлайн библиотека .

Схема исследования функций - №3 - открытая онлайн библиотека .

1. Область определения:

Схема исследования функций - №4 - открытая онлайн библиотека .

2. Функция общего вида, непериодическая.

3. Точка разрыва функции х = 0.

Схема исследования функций - №5 - открытая онлайн библиотека , в точке х = 0 разрыв второго рода.

4. Схема исследования функций - №5 - открытая онлайн библиотека , х = 0 – вертикальная асимптота.

Схема исследования функций - №7 - открытая онлайн библиотека – горизонтальной асимптоты нет.

Схема исследования функций - №8 - открытая онлайн библиотека , k = 1,

Схема исследования функций - №9 - открытая онлайн библиотека , b = 0,

у = х – наклонная асимптота.

5. у = 0.

Схема исследования функций - №10 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №11 - открытая онлайн библиотека .

y > 0 , при Схема исследования функций - №12 - открытая онлайн библиотека ; y < 0 , при Схема исследования функций - №13 - открытая онлайн библиотека

6. Схема исследования функций - №14 - открытая онлайн библиотека .

Схема исследования функций - №15 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №16 - открытая онлайн библиотека , x = 2,

Схема исследования функций - №17 - открытая онлайн библиотека Схема исследования функций - №18 - открытая онлайн библиотека

 
  Схема исследования функций - №19 - открытая онлайн библиотека

7. ymin(2) = 3.

при x Схема исследования функций - №20 - открытая онлайн библиотека (-∞; 0) функция возрастает;

при x Схема исследования функций - №20 - открытая онлайн библиотека (0; 2) функция убывает;

при x Схема исследования функций - №20 - открытая онлайн библиотека (2; +∞) функция возрастает.

8.у'' = 0; Схема исследования функций - №23 - открытая онлайн библиотека ≠ 0 – точек перегиба нет. При х = 0 вторая

производная не существует.

Схема исследования функций - №24 - открытая онлайн библиотека 9.

График функции при Схема исследования функций - №25 - открытая онлайн библиотека является

вогнутым.

10. График функции имеет вид, указанный на рисунке.

Пример выполнения задания 5

Выполним над комплексными числами указанные действия:

а) Схема исследования функций - №26 - открытая онлайн библиотека ;

Воспользуемся формулой:

Схема исследования функций - №27 - открытая онлайн библиотека ,

где k = 0,1,…, n-1.

Запишем комплексное число, заданное в алгебраической форме, в тригонометрической форме: Схема исследования функций - №28 - открытая онлайн библиотека , где

Схема исследования функций - №29 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №30 - открытая онлайн библиотека ,

Схема исследования функций - №31 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №32 - открытая онлайн библиотека .

Для данного числа Схема исследования функций - №33 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №34 - открытая онлайн библиотека ; Схема исследования функций - №35 - открытая онлайн библиотека ; Схема исследования функций - №36 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно,

Схема исследования функций - №37 - открытая онлайн библиотека Схема исследования функций - №38 - открытая онлайн библиотека .

Схема исследования функций - №39 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №40 - открытая онлайн библиотека , k = 0, 1, 2.

Схема исследования функций - №41 - открытая онлайн библиотека

б) Схема исследования функций - №42 - открытая онлайн библиотека .

Воспользуемся формулой:

Схема исследования функций - №43 - открытая онлайн библиотека .

Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме.

Схема исследования функций - №44 - открытая онлайн библиотека ,

Схема исследования функций - №45 - открытая онлайн библиотека ; Схема исследования функций - №46 - открытая онлайн библиотека ; Схема исследования функций - №47 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно,

Схема исследования функций - №48 - открытая онлайн библиотека .

Схема исследования функций - №49 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №50 - открытая онлайн библиотека .

II семестр

Вопросы

  1. Определение функции многих переменных, области, линии и поверхности уровня.
  2. Частные приращения и частные производные.
  3. Полное приращение и полный дифференциал.
  4. Производная сложной функции.
  5. Повторное дифференцирование.
  6. Дифференциал второго порядка.
  7. Экстремум функции двух переменных.
  8. Неопределенный интеграл и его свойства.
  9. Непосредственное интегрирование.
  10. Интегрирование по частям.
  11. Интегрирование путём внесения функции под знак дифференциала.
  12. Интегрирование рациональных функций.
  13. Интегрирование тригонометрических функций.
  14. Интегрирование иррациональных функций.
  15. Определенный интеграл и его геометрический смысл.
  16. Формула Ньютона-Лейбница.
  17. Методы интегрирования в определенном интеграле (подстановка, интегрирование по частям).
  18. Несобственные интегралы.
  19. Вычисление площадей плоских фигур в полярных и прямоугольных координатах.
  20. Вычисление длины дуги плоской кривой, вычисление объема тела вращения, площади поверхности вращения.
  21. Двойной интеграл в декартовых и полярных координатах.
  22. Вычисление двойного интеграла.
  23. Применение двойного интеграла.
  24. Тройной интеграл в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
  25. Применение тройного интеграла.

Модуль 4

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Задачи для решения

Задание 1

Найти частные производные функции z(х; у), заданной уравнением.

Варианты

1. Схема исследования функций - №51 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №52 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №53 - открытая онлайн библиотека ; 4. Схема исследования функций - №54 - открытая онлайн библиотека ;

5. Схема исследования функций - №55 - открытая онлайн библиотека ; 6. Схема исследования функций - №56 - открытая онлайн библиотека ;

7. Схема исследования функций - №57 - открытая онлайн библиотека ; 8. Схема исследования функций - №58 - открытая онлайн библиотека ;

9. Схема исследования функций - №59 - открытая онлайн библиотека ; 10. Схема исследования функций - №60 - открытая онлайн библиотека .

Задание 2

Найти дифференциал второго порядка заданной функции.

Варианты

1. z = sin(2x + y) + 4; 2. z = cos(3x + 2y) – 5;

3. z = xy2 – x2y; 4. z = cos(x – 2y) + 16;

5. z = sin(x– 3y) – 3; 6. z = x3y2 + x2y3;

7. z = 2x3y2 – 3x2y3; 8. z = sin(3x + 4y) – 13;

9. z = 3x2y – 2y2x; 10. z = cos(5x – y) + 6.

Задание 3

Найти производные сложных функций.

Варианты

1. a) Схема исследования функций - №61 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №62 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №63 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №64 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №65 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №66 - открытая онлайн библиотека .

2. а) Схема исследования функций - №67 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №68 - открытая онлайн библиотека Схема исследования функций - №69 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №70 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №71 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №72 - открытая онлайн библиотека .

3. a) Схема исследования функций - №73 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №74 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №75 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №76 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №77 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №78 - открытая онлайн библиотека .

4. a) Схема исследования функций - №79 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №80 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №81 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №82 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №83 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №84 - открытая онлайн библиотека .

5. a) Схема исследования функций - №85 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №86 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №87 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №88 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №89 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №90 - открытая онлайн библиотека .

6. a) Схема исследования функций - №91 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №92 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №93 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №94 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №95 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №96 - открытая онлайн библиотека .

7. a) Схема исследования функций - №97 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №98 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №87 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №100 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №101 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №102 - открытая онлайн библиотека .

8. a) Схема исследования функций - №103 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №104 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №105 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №106 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №107 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №108 - открытая онлайн библиотека .

9. a) Схема исследования функций - №109 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №110 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №111 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №112 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №113 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №114 - открытая онлайн библиотека .

10. a) Схема исследования функций - №115 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №116 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №117 - открытая онлайн библиотека .

б) Схема исследования функций - №118 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №119 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №120 - открытая онлайн библиотека .

Решение типовых задач

Задание 1

Найти частные производные функции z(х; у), заданной уравнением

z = х2y + у2х + cos(2x – 3y).

Задание 2

Найти дифференциал второго порядка для функции

z = sin (3x - y) + e2x + y.

Задание 3

Выполнить дифференцирование сложных функций:

а)Найти производные Схема исследования функций - №121 - открытая онлайн библиотека и Схема исследования функций - №122 - открытая онлайн библиотека функции Схема исследования функций - №123 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №124 - открытая онлайн библиотека

б)Найти производную Схема исследования функций - №125 - открытая онлайн библиотека функции Схема исследования функций - №126 - открытая онлайн библиотека , если Схема исследования функций - №127 - открытая онлайн библиотека

Пример выполнения задания 1

Найдём частные производные функции, заданной уравнением

z = х2y + у2х + cos(2x – 3y).

Решение.

Дифференцируем функцию двух переменных z = z(x; y) по х.

Другая переменная у при этом считается постоянной величиной.

Схема исследования функций - №128 - открытая онлайн библиотека .

Дифференцируем функцию z по у, переменная х при этом считается постоянной величиной.

Схема исследования функций - №129 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Схема исследования функций - №130 - открытая онлайн библиотека ,

Схема исследования функций - №131 - открытая онлайн библиотека .

Пример выполнения задания 2

Найдём дифференциал второго порядка для функции

z = sin (3x - y) + e2x + y.

Решение.

Определяем первые и вторые частные производные Схема исследования функций - №132 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №133 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №134 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №135 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №136 - открытая онлайн библиотека и подставляем их в формулу дифференциала второго порядка:

Схема исследования функций - №137 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №138 - открытая онлайн библиотека ;

Схема исследования функций - №139 - открытая онлайн библиотека ;

Схема исследования функций - №140 - открытая онлайн библиотека ;

Схема исследования функций - №141 - открытая онлайн библиотека ;

Схема исследования функций - №142 - открытая онлайн библиотека

Дифференциал второго порядка равен:

Схема исследования функций - №143 - открытая онлайн библиотека

Ответ:

Схема исследования функций - №144 - открытая онлайн библиотека

Пример выполнения задания 3

Выполним дифференцирование сложных функций.

а)Найдём производные Схема исследования функций - №121 - открытая онлайн библиотека и Схема исследования функций - №122 - открытая онлайн библиотека функции Схема исследования функций - №123 - открытая онлайн библиотека ,

если Схема исследования функций - №124 - открытая онлайн библиотека

Решение.

Частные производные Схема исследования функций - №121 - открытая онлайн библиотека и Схема исследования функций - №122 - открытая онлайн библиотека сложной функции Схема исследования функций - №151 - открытая онлайн библиотека ,

если Схема исследования функций - №152 - открытая онлайн библиотека , находят по формулам:

Схема исследования функций - №153 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №154 - открытая онлайн библиотека .

Найдём частные производные Схема исследования функций - №121 - открытая онлайн библиотека и Схема исследования функций - №122 - открытая онлайн библиотека сложной функции Схема исследования функций - №123 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №124 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №159 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №160 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №161 - открытая онлайн библиотека Схема исследования функций - №162 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №163 - открытая онлайн библиотека Схема исследования функций - №164 - открытая онлайн библиотека

Подставим в формулы для нахождения Схема исследования функций - №121 - открытая онлайн библиотека и Схема исследования функций - №166 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №167 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №168 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №169 - открытая онлайн библиотека

Схема исследования функций - №170 - открытая онлайн библиотека .

Ответ : Схема исследования функций - №171 - открытая онлайн библиотека ; Схема исследования функций - №172 - открытая онлайн библиотека .

б)Найдём производную Схема исследования функций - №125 - открытая онлайн библиотека функции Схема исследования функций - №126 - открытая онлайн библиотека , если

Схема исследования функций - №127 - открытая онлайн библиотека

Решение.

Пусть функция Схема исследования функций - №176 - открытая онлайн библиотека - дифференцируемая функция аргументов x и y, а x и y являются дифференцируемыми функциями аргумента t. Сложная функция Схема исследования функций - №177 - открытая онлайн библиотека также дифференцируема, и ее производная находится по формуле:

Схема исследования функций - №178 - открытая онлайн библиотека .

Найдём производную Схема исследования функций - №125 - открытая онлайн библиотека функции Схема исследования функций - №126 - открытая онлайн библиотека .

Схема исследования функций - №181 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №182 - открытая онлайн библиотека ,

Схема исследования функций - №183 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №184 - открытая онлайн библиотека .

Полученные производные подставим в формулу для нахождения Схема исследования функций - №185 - открытая онлайн библиотека .

Схема исследования функций - №186 - открытая онлайн библиотека Схема исследования функций - №187 - открытая онлайн библиотека .

Модуль 5

Интегральное исчисление функции одной переменной

Задачи для решения

Задание 1

Непосредственным интегрированием найти следующие интегралы:

Вариант № 1 Вариант № 2

1. Схема исследования функций - №188 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №189 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №190 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №191 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №192 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №193 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №194 - открытая онлайн библиотека . 4. Схема исследования функций - №195 - открытая онлайн библиотека .

Вариант № 3 Вариант № 4

1. Схема исследования функций - №196 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №197 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №198 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №199 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №200 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №201 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №202 - открытая онлайн библиотека . 4. Схема исследования функций - №203 - открытая онлайн библиотека .

Вариант № 5 Вариант № 6

1. Схема исследования функций - №204 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №205 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №206 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №207 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №208 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №209 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №210 - открытая онлайн библиотека . 4. Схема исследования функций - №211 - открытая онлайн библиотека .

Вариант № 7 Вариант № 8

1. Схема исследования функций - №212 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №213 - открытая онлайн библиотека

2. Схема исследования функций - №214 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №215 - открытая онлайн библиотека

3. Схема исследования функций - №216 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №217 - открытая онлайн библиотека

4. Схема исследования функций - №218 - открытая онлайн библиотека . 4. Схема исследования функций - №219 - открытая онлайн библиотека .

Вариант № 9 Вариант № 10

1. Схема исследования функций - №220 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №221 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №222 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №223 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №224 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №225 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №226 - открытая онлайн библиотека ; 4. Схема исследования функций - №227 - открытая онлайн библиотека .

Задание 2

Проинтегрировать, выбрав нужный метод интегрирования.

Вариант № 1 Вариант № 2

1. Схема исследования функций - №228 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №229 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №230 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №231 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №232 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №233 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №234 - открытая онлайн библиотека . 4. Схема исследования функций - №235 - открытая онлайн библиотека .

Вариант № 3 Вариант № 4

1. Схема исследования функций - №236 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №237 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №238 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №239 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №240 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №241 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №242 - открытая онлайн библиотека . 4. Схема исследования функций - №243 - открытая онлайн библиотека .

Вариант № 5 Вариант № 6

1. Схема исследования функций - №244 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №245 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №246 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №247 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №248 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №249 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №250 - открытая онлайн библиотека . 4. Схема исследования функций - №234 - открытая онлайн библиотека .

Вариант № 7 Вариант № 8

1. Схема исследования функций - №252 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №253 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №254 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №255 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №256 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №257 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №258 - открытая онлайн библиотека . 4. Схема исследования функций - №259 - открытая онлайн библиотека .

Вариант № 9 Вариант № 10

1. Схема исследования функций - №260 - открытая онлайн библиотека ; 1. Схема исследования функций - №261 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №262 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №263 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №264 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №265 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №266 - открытая онлайн библиотека . 4. Схема исследования функций - №267 - открытая онлайн библиотека .

Задание 3

Вычислить определённый интеграл.

Варианты

1. Схема исследования функций - №268 - открытая онлайн библиотека ; 2. Схема исследования функций - №269 - открытая онлайн библиотека ; 3. Схема исследования функций - №270 - открытая онлайн библиотека 4. Схема исследования функций - №271 - открытая онлайн библиотека

5. Схема исследования функций - №272 - открытая онлайн библиотека 6. Схема исследования функций - №273 - открытая онлайн библиотека 7. Схема исследования функций - №274 - открытая онлайн библиотека 8. Схема исследования функций - №275 - открытая онлайн библиотека 9. Схема исследования функций - №276 - открытая онлайн библиотека 10. Схема исследования функций - №277 - открытая онлайн библиотека

Задание 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Варианты.

1. ху = 6, х + у = 7; 6. у = 2х – х2, у = 0;

2. у= 3х – х2, у = 0; 7. у = 6х – х2, у = 0;

3. ху = 8, х + у = 6; 8. у = 1 – х2, у = 0, х < 0;

4. у = 4х – х2, у = 0; 9. у = 9 – х2, х >0, у = 0;

5. у = 4 – х2, у = 0, х > 0; 10. у = 25 – х2, у = 0, х <0.

Задание 5

По формулам трапеций и парабол (Симпсона) приближенно вычислить интеграл.

Варианты

1. Схема исследования функций - №278 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №279 - открытая онлайн библиотека ; 6. Схема исследования функций - №280 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №279 - открытая онлайн библиотека ;

2. Схема исследования функций - №282 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №279 - открытая онлайн библиотека ; 7. Схема исследования функций - №284 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №279 - открытая онлайн библиотека ;

3. Схема исследования функций - №286 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №279 - открытая онлайн библиотека ; 8. Схема исследования функций - №288 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №279 - открытая онлайн библиотека ;

4. Схема исследования функций - №290 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №279 - открытая онлайн библиотека ; 9. Схема исследования функций - №292 - открытая онлайн библиотека , Схема исследования функций - №279 - открытая онлайн библиотека ;

5. , ; 10. , .

Решение типовых задач

Задание 1

Непосредственным интегрированием найти следующие интегралы:

а) Схема исследования функций - №294 - открытая онлайн библиотека ; б) Схема исследования функций - №295 - открытая онлайн библиотека ;

в) Схема исследования функций - №296 - открытая онлайн библиотека ; г) Схема исследования функций - №297 - открытая онлайн библиотека .

Задание 2

Проинтегрировать, выбрав нужный метод интегрирования.

а) Схема исследования функций - №298 - открытая онлайн библиотека ;

б) Схема исследования функций - №299 - открытая онлайн библиотека ;

в) Схема исследования функций - №300 - открытая онлайн библиотека ;

Г) .

Задание 3