IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Найти область определения функций:

а) u = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №1 - открытая онлайн библиотека ;

б) u = arcsin (x + y);

в) u = y + IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №2 - открытая онлайн библиотека .

2. Найти частные производные для функций:

а) u = x2 + 2y2 – 3xy IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №3 - открытая онлайн библиотека ;

б) u = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №4 - открытая онлайн библиотека ;

в) z = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №5 - открытая онлайн библиотека ;

г) u = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №6 - открытая онлайн библиотека + IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №7 - открытая онлайн библиотека ;

д) z = arctg IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №8 - открытая онлайн библиотека .

3. Найти полный дифференциал функции z = arctg IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №9 - открытая онлайн библиотека .

4. Найти IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №10 - открытая онлайн библиотека , если z = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №11 - открытая онлайн библиотека , x = a cos t, y = a sin t.

5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z = x2 – 2xy+ y2− x + 2y в точке М (1; 1; 1).

6. Вычислить приближенно с помощью дифференциала IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №12 - открытая онлайн библиотека .

7. Выбрать правильный ответ.

Градиент функции z =x2 + 3y2 в точке А(1;1) равен:

а) {1;6};

б) 9;

в) {1;8};

г) {−1;8}.

8. Найти экстремум функции z = x2+ xy+ y2 IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №13 - открытая онлайн библиотека 3x IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №13 - открытая онлайн библиотека 6y.

9. Выбрать правильный ответ.

Наибольшее и наименьшее значения функции z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3:

а) zнаим = 5; zнаиб = 11;

б) zнаим = 3; zнаиб = 5;

в) zнаим =5; zнаиб = 13;

г) zнаим = −3; zнаиб = 4.

Ответы

I. Элементы векторной алгебры

1. −42.

2. { IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №15 - открытая онлайн библиотека

3. в).

4. б); в); г).

5. а); б).

6.а).

7. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №16 - открытая онлайн библиотека .

8. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №17 - открытая онлайн библиотека

9. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №18 - открытая онлайн библиотека .

10. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №19 - открытая онлайн библиотека .

11. 4.

12. в).

13. в).

14. в).

15. с = − 6а + 4b.

16. а).

II. Элементы линейной алгебры

1. в).

2. б).

3. а), б), в), г).

4. б).

5. г).

6. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №13 - открытая онлайн библиотека 12.

7. а6; б3; в2; г5; д8; е1; з4.

8. а3; б2; в1.

9. Cистема совместна.

10. АС; ВС; СД; ДВ; СВ.

11. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №21 - открытая онлайн библиотека .

12. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №22 - открытая онлайн библиотека .

13. 2.

14. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №23 - открытая онлайн библиотека .

15. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №24 - открытая онлайн библиотека

16. г).

III. Аналитическая геометрия

1. а3; б4; в2; г1.

2. а) перпендикулярны; б) пересекаются; в) пересекаются; г) пер-пендикулярны; д) параллельны.

3. {− 4; IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №25 - открытая онлайн библиотека

4. а) общее; б) канонические; в) параметрические; г) с угловым коэффициентом; д) нормальное; е) в отрезках.

5. 49.

6. {4; 2; −11}.

7. 16x – 6y – z = 0.

8. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №26 - открытая онлайн библиотека .

9. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №27 - открытая онлайн библиотека .

10. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №28 - открытая онлайн библиотека .

11. а) параболоид эллиптический; б) гиперболоид однополостный;

в) эллипсоид; г) цилиндр эллиптический; д) параболоид гиперболи-ческий; е) цилиндр параболический; ж) гиперболоид двуполостный.

12. а) правая ветвь параболы; б) нижняя ветвь гиперболы;

в) нижняя ветвь параболы; г) левая половина эллипса.

13. y2 = 4x.

14. а) 3; 4; F1(− 5; 0); F2(5; 0); ε = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №29 - открытая онлайн библиотека ; б) 5; 3; F1(− 4; 0); F2(4; 0); ε = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №30 - открытая онлайн библиотека .

15. а) эллипс; б) парабола; в) гипербола; г) прямая.

IV. Введение в анализ

1. а1; б3; в4; г2.

2. а) [ IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №13 - открытая онлайн библиотека 2;0) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №32 - открытая онлайн библиотека (0;2]; б) [0;4]; в)(−∞;0) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №33 - открытая онлайн библиотека г) ( IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №34 - открытая онлайн библиотека ; IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №35 - открытая онлайн библиотека ).

3. а) 2; б) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №36 - открытая онлайн библиотека ; г) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №37 - открытая онлайн библиотека ; в) 0; д) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №38 - открытая онлайн библиотека ; е) 8; ж) 2; з) e8.

4. а); в).

5. а) функция непрерывна; б) х = –2; х = –3 − точки разрыва II рода;

в) x = 4 – точка разрыва II рода.

6. а); г).

7. а1; б1; в1; г4; д2; е1; ж5; з1; и6; к1; л3.

8. а) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №39 - открытая онлайн библиотека ; б) 3; в) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №34 - открытая онлайн библиотека ; г) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №41 - открытая онлайн библиотека .

V. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. а) 24x IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №42 - открытая онлайн библиотека ; б) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №43 - открытая онлайн библиотека sin 2x; в) arcsin (ln x) + IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №44 - открытая онлайн библиотека ;

г) 2x e−2x(1 IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №45 - открытая онлайн библиотека x); д) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №46 - открытая онлайн библиотека ln3 2x ln2 ;

е) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №47 - открытая онлайн библиотека ; ж) xsin x IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №48 - открытая онлайн библиотека ; з) 2xlnx−1lnx;

и) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №49 - открытая онлайн библиотека ; к) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №13 - открытая онлайн библиотека 1,5 ctg t; л) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №51 - открытая онлайн библиотека ;

м) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №52 - открытая онлайн библиотека ; н) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №53 - открытая онлайн библиотека ;

2. а7; б5; в9; г8; д10; е1; ж3; з6; и2; к4.

3. б).

4. а).

5. а) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №54 - открытая онлайн библиотека ; б) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №55 - открытая онлайн библиотека dx.

6. а) 4,9; б) 0,02.

7. а) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №56 - открытая онлайн библиотека y = 4e2x dx2; б ) dy2 = − IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №57 - открытая онлайн библиотека IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №58 - открытая онлайн библиотека dx2.

8. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №59 - открытая онлайн библиотека ; IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №60 - открытая онлайн библиотека .

9. а) 1; б) 9; в) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №29 - открытая онлайн библиотека ; г) 2.

10. а) sin IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №62 - открытая онлайн библиотека ; б) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №63 - открытая онлайн библиотека IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №64 - открытая онлайн библиотека .

VI. Исследование функций и построение графиков

1. а4; б1; в3; г2.

2. y = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №65 - открытая онлайн библиотека .

3. а); б); д).

4. а).

5. г).

6. а); в).

7. (0; IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №13 - открытая онлайн библиотека 2).

8. в точке х = 4, ymin = − e4.

9. Наименьшее y = −18, наибольшее y = 2.

10. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №67 - открытая онлайн библиотека .

VII. Комплексные числа

1. а2; б3; в1.

2. б).

3. а) 3+ i; б) 4 + 3i; в) i.

4. 215.

VIII. Интегральное исчисление функций одной переменной

1. а6; б5; в9; г7; д3; е1; ж10; з2; и12; к8; л4; м11; н13.

2.

а) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №68 - открытая онлайн библиотека arctg IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №69 - открытая онлайн библиотека + C; и) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №70 - открытая онлайн библиотека C;
б) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №71 - открытая онлайн библиотека + C; к) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №72 - открытая онлайн библиотека + C;
в) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №73 - открытая онлайн библиотека IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №74 - открытая онлайн библиотека + C; л) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №75 - открытая онлайн библиотека x - IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №76 - открытая онлайн библиотека sin 4x + C;
г) − IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №77 - открытая онлайн библиотека IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №78 - открытая онлайн библиотека + C; м) 2 ln IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №79 - открытая онлайн библиотека + IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №80 - открытая онлайн библиотека + C;
д) – 3cos IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №81 - открытая онлайн библиотека + C; н) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №82 - открытая онлайн библиотека ;
е) – x cos x +sin x + C; о) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №83 - открытая онлайн библиотека ;
ж) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №84 - открытая онлайн библиотека + C; п) 0;
з) − 3 IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №85 - открытая онлайн библиотека + 13 arcsin (x IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №13 - открытая онлайн библиотека 3) + C; р) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №87 - открытая онлайн библиотека −1.

3. Подынтегральная функция – нечетная.

4. а); б); г); д); е).

5. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №88 - открытая онлайн библиотека .

6. а) сходится, 1; б) сходится, IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №87 - открытая онлайн библиотека ; в) расходится ; г) сходится , IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №43 - открытая онлайн библиотека .

7. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №91 - открытая онлайн библиотека .

8. IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №92 - открытая онлайн библиотека (2 IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №93 - открытая онлайн библиотека

9. 0,3 (куб.ед.)

10. 0 ≤ IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №94 - открытая онлайн библиотека IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №95 - открытая онлайн библиотека .

IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. а) x2 + y2 ≥ 1 – часть плоскости вне единичного круга:

б) полоса между параллельными прямыми x + y ≤ 1 и x + y≥ − 1;

в) полуплоскость x ≥ 0.

2. а) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №96 - открытая онлайн библиотека = 2x – 3y − 4; IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №97 - открытая онлайн библиотека = 4y − 3x + 2.

б) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №98 - открытая онлайн библиотека = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №99 - открытая онлайн библиотекаIX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №100 - открытая онлайн библиотека = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №101 - открытая онлайн библиотека .

в) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №102 - открытая онлайн библиотека = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №103 - открытая онлайн библиотека 3x2y + y3; IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №104 - открытая онлайн библиотека = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №103 - открытая онлайн библиотека (x3+ 3xy2).

г) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №106 - открытая онлайн библиотека = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №107 - открытая онлайн библиотека ; IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №97 - открытая онлайн библиотека = − IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №109 - открытая онлайн библиотека + IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №110 - открытая онлайн библиотека ; IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №111 - открытая онлайн библиотека = − IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №112 - открытая онлайн библиотека IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №113 - открытая онлайн библиотека .

д) IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №114 - открытая онлайн библиотека = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №115 - открытая онлайн библиотека ; IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №116 - открытая онлайн библиотека = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №117 - открытая онлайн библиотека .

3. dz = IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №118 - открытая онлайн библиотека .

4. 0.

5. Касательная плоскость x − 2y + z = 0; нормаль IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - №119 - открытая онлайн библиотека .

6. 3,02.

7. в).

8. zmin = − 9.

9. а).

Список литературы

1. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – CПб.: Профессия, 2006.

2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике. – М. : Наука, 1977.

3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – В 2 ч. Ч. 1 : учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 6-е изд. – М. : Мир и образование, 2007.

4. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для втузов. – 17-е изд. – СПб. : Профессия, 2005.

5. Сборник задач по высшей математике. 1–й курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 3-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2003.

6. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : полный курс. – 2-е изд. ­– М. : Айрис-пресс, 2004.

7. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. – М. : Наука, 1986.

Задания по математике

в тестовой форме

для организации самостоятельной работы

Учебно-методическое пособие

Часть 1

Составитель Смирнова Наталья Анатольевна

В редакции составителя

Корректор Н. К. Швиндт