Интегрирование некоторых тригонометрических функций

1) Интегралы вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №1 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №2 - открытая онлайн библиотека Интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №3 - открытая онлайн библиотека .

Тогда .

Особенно удобно ею пользоваться, если под интегралом стоит дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены относительно sinx и cosx степени не более первой.

Пример 6.20.

Найдем интеграл Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №4 - открытая онлайн библиотека .

Сделаем подстановку Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №5 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №6 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №7 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №8 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №9 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №10 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №11 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №12 - открытая онлайн библиотека .

Заметим, что подстановка приводит иной раз к сложным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок.

 
  Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №13 - открытая онлайн библиотека

2) Интегралы вида .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №14 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №15 - открытая онлайн библиотека Если имеет место тождество , то удобнее сделать подстановку .

Тогда Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №16 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.21.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №17 - открытая онлайн библиотека Найдем интеграл Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №18 - открытая онлайн библиотека .

Так как ,

то делаем подстановку Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №14 - открытая онлайн библиотека , тогда

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №20 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №21 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №22 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №23 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №24 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №25 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №26 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №27 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №28 - открытая онлайн библиотека .

3) Интегралы вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №29 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №30 - открытая онлайн библиотека

Для нахождения этих интегралов применяется подстановка sinx = t (cosxdx = dt) и cosx = t (-sinxdx = dt) соответственно.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №31 - открытая онлайн библиотека Пример 6.22.

Найдем интеграл .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №32 - открытая онлайн библиотека Сделаем подстановку:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №33 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №34 - открытая онлайн библиотека .

4) Интегралы вида , m, n Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №35 - открытая онлайн библиотека /N.

Интеграл берётся понижением степени Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №36 - открытая онлайн библиотека с помощью формул: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №37 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №38 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №39 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №40 - открытая онлайн библиотека Пример 6.23.

Найдем интеграл .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №41 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №42 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №43 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №44 - открытая онлайн библиотека .

5) Интегралы вида .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №45 - открытая онлайн библиотека Хотя бы одно из чисел Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №46 - открытая онлайн библиотека – целое положительное и нечетное. Например, Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №47 - открытая онлайн библиотека .

Имеем Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №48 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №49 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №50 - открытая онлайн библиотека .

Дальше можно сделать подстановку: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №51 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №52 - открытая онлайн библиотека Пример 6.24.

Найдем интеграл I = .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №53 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №54 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №55 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №56 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №57 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №58 - открытая онлайн библиотека

Интегралы вида

Подынтегральные выражения преобразуются в сумму тригонометрических функций с помощью формул:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №59 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №60 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №61 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №62 - открытая онлайн библиотека Пример 6.25.

Найдем интеграл .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №63 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Основной приём интегрирования таких функций заключается в рационализации подынтегрального выражения.

 
  Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №64 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №65 - открытая онлайн библиотека 1) Интегралы вида .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №66 - открытая онлайн библиотека Интеграл берется с помощью подстановки , где Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №67 - открытая онлайн библиотека – наименьший общий знаменатель дробей Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №68 - открытая онлайн библиотека , i = .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №69 - открытая онлайн библиотека Пример 6.26.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №70 - открытая онлайн библиотека Найдем интеграл .

Дан интеграл где N = 4. Сделаем подстановку: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №71 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №72 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №73 - открытая онлайн библиотека .

2) Интегралы вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №74 - открытая онлайн библиотека .

Интегралы рационализуются с помощью соответствующих тригонометрических подстановок:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №75 - открытая онлайн библиотека – подстановка: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №76 - открытая онлайн библиотека ;

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №77 - открытая онлайн библиотека – подстановка: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №78 - открытая онлайн библиотека ;

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №79 - открытая онлайн библиотека – подстановка: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №80 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.27.

Найдем интеграл Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №81 - открытая онлайн библиотека .

Сделаем подстановку: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №82 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №83 - открытая онлайн библиотека ,

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №84 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №85 - открытая онлайн библиотека

= Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №86 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №87 - открытая онлайн библиотека

= Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №88 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №89 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование дифференциальных биномов.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №90 - открытая онлайн библиотека Дифференциальным биномом называется выражение Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №91 - открытая онлайн библиотека .

Интегралы вида берутся в элементарных функциях только в следующих трёх случаях:

а) Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №92 - открытая онлайн библиотека – целое;

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №93 - открытая онлайн библиотека б) Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №94 - открытая онлайн библиотека – целое.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №95 - открытая онлайн библиотека В этом случае делается подстановка: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №96 - открытая онлайн библиотека , где ;

в) – целое.

Подстановка: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №97 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №98 - открытая онлайн библиотека Пример 6.28.

Найдем интеграл .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №99 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №100 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №101 - открытая онлайн библиотека .

Здесь , поэтому имеет место второй случай. Подстановка: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №102 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №103 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №104 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №105 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №106 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №107 - открытая онлайн библиотека Пример 6.29.

Найдем интеграл .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №108 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №109 - открытая онлайн библиотека Здесь m = 0, n = 4, p = – Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №110 - открытая онлайн библиотека , , поэтому имеем третий случай.

Подстановка: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №111 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №112 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №113 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №114 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №115 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №116 - открытая онлайн библиотека = Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №117 - открытая онлайн библиотека

= Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №118 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №119 - открытая онлайн библиотека

= Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №120 - открытая онлайн библиотека

 
  Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №121 - открытая онлайн библиотека

4) Интегралы вида .

Интегралы берутся с помощью подстановок Эйлера.

а) Если Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №122 - открытая онлайн библиотека , то применяется первая подстановка Эйлера: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №123 - открытая онлайн библиотека ;

б) Если Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №124 - открытая онлайн библиотека , то делается вторая подстановка Эйлера: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №125 - открытая онлайн библиотека ;

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №126 - открытая онлайн библиотека в) Если Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №127 - открытая онлайн библиотека имеет различные двещественные корни x1 и x2, то применяется третья подстановка Эйлера: .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №128 - открытая онлайн библиотека Пример 6.30.

Найдем интеграл .

Так как Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №129 - открытая онлайн библиотека , то применим первую подстановку Эйлера:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №130 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №131 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №132 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №133 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №134 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №135 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №136 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №137 - открытая онлайн библиотека .

Глава VII. Определенный интеграл

Понятие определённого интеграла. Геометрический и экономический смысл определённого интеграла

Определение 7.1.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №138 - открытая онлайн библиотека Пусть функция Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №139 - открытая онлайн библиотека определена и ограничена на отрезке [a, b] и Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №140 - открытая онлайн библиотека – произвольное разбиение этого отрезка на Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №141 - открытая онлайн библиотека частей (рис. 7.1).

Сумма вида , где Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №142 - открытая онлайн библиотека называется интегральной суммой функции Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №139 - открытая онлайн библиотека на отрезке [a, b].

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №144 - открытая онлайн библиотека

рис. 7.1.

Определение 7.2.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №145 - открытая онлайн библиотека Диаметром разбиения Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №146 - открытая онлайн библиотека называется наибольшая длина частичного отрезка разбиения, то есть .

Определение 7.3.

Если существует конечный предел суммы Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №147 - открытая онлайн библиотека при условии, что диаметр разбиения Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №148 - открытая онлайн библиотека , не зависящий от способа разбиения отрезка интегрирования [a,b], а также от способа выбора точек Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №149 - открытая онлайн библиотека , то этот предел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a, b] ( в пределах от Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №150 - открытая онлайн библиотека до Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №151 - открытая онлайн библиотека ).

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №152 - открытая онлайн библиотека Обозначение: .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №153 - открытая онлайн библиотека В этом случае функция у=f(х) называется интегрируемой на отрезке [a, b] (по Риману), выражение называется подынтегральным выражением, функция Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №139 - открытая онлайн библиотека – подынтегральной функцией, числа a, b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Теорема 7.1.(о достаточных условиях интегрируемости)

Непрерывные и кусочно-непрерывные отрезки на [a, b] функции являются интегрируемыми.

Геометрический смысл интеграла.

Геометрически определённый интеграл является алгебраической суммой площадей фигур, составляющих так называемую криволинейную трапецию Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №155 - открытая онлайн библиотека , ограниченную указанной кривой , прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис.7.1). Причем, площади частей, расположенных выше оси Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №156 - открытая онлайн библиотека берутся со знаком «+», а площади частей, расположенных ниже оси Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №156 - открытая онлайн библиотека – со знаком «–».