Оценка точности измерения величин и их функций по карте и

Местности.

Цель работы: Освоить методику оценки точности измерений для проверки качества решения инженерных задач по карте.

Приборы и оборудование: калькулятор, масштабная линейка, геодезический транспортир, измеритель, топографическая карта масштаба 1:10000.

3.1.Оценка точности результатов измерений по истинным ошибкам.

Формулы и обозначения:

m l = Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №1 - открытая онлайн библиотека - средняя квадратическая ошибка измерения (3.1)

Dпред. = 3 m l - предельная ошибка измерения. (3.2)

mml= Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №2 - открытая онлайн библиотека - средняя квадратическая ошибка величины Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №3 - открытая онлайн библиотека

(надежность оценки точности). (3.3)

Di = li – X - истинная ошибка. (3.4)

где: li - результат измерений,

Х­­­ - истинное значение измеренной величины (за истинное значение может быть принято точное, на порядок точнее измерений, значение)

n - число измерений.

Задача 3.1.1

При измерении границы земельного участка лентой получены значения li (м): 100,01; 100,08; 99,95; 99,90+0,01N (N - номер индивидуального задания). Известно значение X = 100,010 м.

Вычислить среднюю квадратическую и предельную ошибки одного измерения и установить надежность оценки.

Задача 3.1.2.

При измерении угла теодолитом получены значения li: 90°00,5¢; 90°00,8¢; 89°59,7¢; 89°59,5¢; 90°00,2¢; 89°59,2¢. Известно значение X = 90°00,05¢.

Вычислить среднюю квадратическую и предельную ошибки одного измерения и установить надежность оценки.

Пример для задач 3.1.

Условие задачи.

При измерении превышения тригонометрическим нивелированием получены значения li(м): 2,46; 2,60; 2,52; 2,50.

Известно значение X = 2,525 м.

Требуется выполнить оценку точности, предусмотренную при решении задач 3.1-3.2.

Решение задачи.

Таблица 3.1.

Обработка ряда измерений по истинным ошибкам.

№ измерения результат измерений li, м Di = li – X , см. Di²
2,46 -6,5 42,25
2,60 +7,5 56,25
2,52 -0,5 0,25
2,50 -2,5 6,25
    åDi = -2,0 åDi² = 105,00

m l = Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №4 - открытая онлайн библиотека = 5,1 см

Dпр = 3 * 5,1 = 15,3 см

mml= Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №5 - открытая онлайн библиотека = 1,8 см

Оценка точности результатов равноточных измерений одной и той же величины.

Формулы и обозначения.

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №6 - открытая онлайн библиотека - средняя квадратическая ошибка одного измерения (3.5)

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №7 - открытая онлайн библиотека - средняя квадратическая ошибка вероятнейшего значения (3.6)

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №8 - открытая онлайн библиотека - вероятнейшее значение измеренной величины (3.7)

Vi = L – li - вероятнейшая поправка (3.8)

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №9 - открытая онлайн библиотека - средняя квадратическая ошибка величины Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №3 - открытая онлайн библиотека (3.9)

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №11 - открытая онлайн библиотека - средняя квадратическая ошибка величины Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №12 - открытая онлайн библиотека (3.10)

[V] = dL * n - контроль вычислений L и V. (3.11)

где: n – число измерений.

dL = Lокр. – Lточн. - ошибка округления значения L. (3.12)

Задача 3.2.1.

Измерить на карте линию (АВ или ВС, или СА, точки А, В, С из задач 2.1 – 2.4) с помощью измерителя и масштабной линейки (до 0,1 мм) четыре раза. Вычислить вероятнейшее значение длины линии, среднеквадратическую и предельную ошибки одного измерения и вероятнейшего значения длины линии. Установить надежность оценки точности.

Задача 3.2.2.

Измерить на карте угол АВС (точки А, В, С из задачи 2.1 – 2.4) с помощью геодезического транспортира (до 3') четыре раза. Найти вероятнейшее значение угла, среднюю квадратическую ошибку и предельную ошибку одного измерения и вероятнейшее значение угла. Установить надежность оценки точности.

Задача 3.2.3.

Измерить по карте площадь контура (заданного преподавателем) с помощью планиметра четыре раза. Вычислить вероятнейшее значение площади, среднюю квадратическую и предельную ошибки одного измерения и вероятнейшего значения площади. Установить надежность оценки точности.

Пример для задач 3.2.

При измерении угла на карте получены значения li: 65°15'; 65°21'; 65°12'; 65°24'. Найти вероятнейшее значение угла и выполнить оценку точности, предусмотренную в задачах 3.2.1 – 3.2.3.

Решение.

Таблица 3.2

Обработка ряда равноточных измерений.

№ измерения Результат измерения, li Вероятнейшая поправка,Vi Vi²
65°15¢ +0,8¢ 0,64
65°21¢ -5,2¢ 27,04
65°09¢ +6,8¢ 46,24
65°18¢ -2,2¢ 4,84
  å 65° * 4 + 63¢ +0,2¢ 78,76

Lточн.= 65° + 63’ : 4 = 65°15,75’

Lокр. = 65°15,8’

dL = 65°15,8’ – 65°15,75’ = 0,05’

Контроль: [V] = 0,05’ х 4 = 0,2’

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №13 - открытая онлайн библиотека

m L = 5,1¢ : Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №14 - открытая онлайн библиотека = 2,6¢

mml= 5,1¢ : Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №15 - открытая онлайн библиотека = 2,9¢

mmL= 2,6¢ : Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №14 - открытая онлайн библиотека = 1,3¢

3.3.Оценка точности функций измеренных величин.

Формулы и обозначения.

u = f ( х1, х2, ... хn) - функция нескольких переменных (3.13)

mu = Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №17 - открытая онлайн библиотека - средняя квадратическая ошибка функции нескольких переменных (для линейных функций можно применить более простые формулы), (3.14)

где: ¶u/ ¶xi - частные производные функции по каждой переменной, mi – средняя квадратическая ошибка переменной.

Задача 3.3.1.

Определить площадь треугольника АВС (точки А, В, С из задач 2.1 – 2.4) с помощью измерителя, масштабной линейки и геодезического транспортира двумя способами по формулам:

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №18 - открытая онлайн библиотека

Р1 = ½ a h

Р2 = ½ S1 S2 sinb

Рис. 3.1. Схема к определению площади треугольника.

Вычислить среднюю квадратическую ошибку определения площади каждым способом (mР1и mР2) и допустимое расхождение площадей, определенных двумя способами. Допустимое расхождение площадей вычислить как предельную ошибку разности площадей по формуле:

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №19 - открытая онлайн библиотека (3.15)

При вычислении значений mР величину ошибок переменных mi принять равными значениям mS из задачи 3.3, mb - из задачи 3.4.

Задача 3.3.2.

Вычислить предельную ошибку и допустимую невязку площади участка, состоящего из трех контуров (при Dпред = 3m), если средние квадратические ошибки площадей контуров равны: m1 = 0,21 га; m2 = 0,15 га; m3 = (0,10 + 0,01 * N ) га.

Задача 3.3.3.

Вычислить предельную ошибку и допустимую невязку суммы n (2 + N) углов теодолитного хода (Dпред = 2m), если средняя квадратическая ошибка измеренного угла равна mb = ( 10 + N )".

Пример по задачам 3.3.

Условие задачи.

Вычислить предельную ошибку превышения Dпред = 3m из тригонометрического нивелирования, если известны средние квадратические ошибки: горизонтального проложения линии S, mS = 0,10 м и вертикального угла n, mn = 0,5¢, при S = 100 м и n = 5°44¢.

Решение.

Функция (превышение ) : h = S tg n

Частные производные : ¶h/¶S = tg n,

¶h/¶n = S/соs²n

Средняя квадратическая ошибка превышения:

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №20 - открытая онлайн библиотека ,

mh = 0,058 м

Предельная ошибка превышения: Dh = 3 * 0,058 м = 0,17 м

3.4.Оценка точности по разностям двойных равноточных

измерений.

Формулы и обозначения.

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №21 - открытая онлайн библиотека - результаты двойных равноточных измерений.

di = li – l'i - разность двойных измерений (3.16)

При отсутствии существенного влияния систематических ошибок:

|[ d ]|<0,25[| d |] - критерий отсутствия существенного влияния (3.17)

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №22 - открытая онлайн библиотека - средняя квадратическая ошибка разности (3.18)

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №23 - открытая онлайн библиотека ml = md / Ö 2 - средняя квадратическая ошибка одного измерения (3.19)

mlср. = md / 2 - средняя квадратическая ошибка среднего (3.20)

значения из двойных измерений

При отсутствии влияния систематических ошибок:

|[d]|>0,25[|d|] - критерий наличия существенного влияния

qср. = [ d ] / n - среднее значение систематической ошибки (3.21)

i = dср. – qср. - значение влияния случайных ошибок (3.22)

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №24 - открытая онлайн библиотека md = Ö [ ¶² ] / n - средняя квадратическая ошибка разности (3.23)

Оценка точности измерения величин и их функций по карте и - №25 - открытая онлайн библиотека ml = md / Ö 2 - средняя квадратическая ошибка одного (3.24)

измерения

m l ср. = md / 2 - средняя квадратическая ошибка среднего (3.25)

значения из двойных измерений

Задача 3.4.

Произвести оценку точности геометрического нивелирования по результатам двойных измерений превышений на станции по черной и красной сторонам реек: вычислить среднюю квадратическую ошибку превышения, полученного по одной стороне реек, и среднего превышения по двум сторонам реек. Результаты нивелирования на пяти станциях приведены в таблице 3.3, в которой следует произвести необходимые вычисления.

Таблица 3.3

Обработка ряда неравноточных измерений

№ станций Превышения по сторонам реек, мм d,мм ¶,мм ¶²  
  черной красной        
+1206 +1208 -2 -3
+0466 +0462
+2251 +2254 -3 -4
+0925 +0930 -4 -5
+0967 +0957+D
      [d]= 5 [d²]=145 [¶]= 0 [¶²]=140