Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної узагальненим полiномом

У попередньому пунктi розглянуто найпростiший випадок, коли апроксимуюча функцiя є полiномом степеня Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №1 - открытая онлайн библиотека . Узагальнимо його, припустивши, що апроксимуюча функцiя має вигляд

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №2 - открытая онлайн библиотека

тобто є лiнiйною комбiнацiєю функцiй Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №3 - открытая онлайн библиотека , якi належать деякiй системi лiнiйно незалежних функцiй. Вираз (2.37) називається узагальненим полiномом по системi функцiй Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №3 - открытая онлайн библиотека .

Метод найменших квадратiв в цьому випадку полягає у знаходженнi серед узагальнених полiномiв такого, для якого функцiя

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №5 - открытая онлайн библиотека

приймає мiнiмальне значення. Аналогiчно попередньому приходимо до нормальної системи рiвнянь, яка має вигляд:

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №6 - открытая онлайн библиотека

Якщо ввести позначення

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №7 - открытая онлайн библиотека

то систему (2.39) можна записати у виглядi матричного рiвняння

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №8 - открытая онлайн библиотека

де

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №9 - открытая онлайн библиотека

Визначник системи (2.39) є визначником Грама функцiй Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №10 - открытая онлайн библиотека . Оскiльки цi функцiї, за припущенням, лiнiйно незалежнi, то вiн вiдмiнний вiд нуля. Отже, розв'язок системи iснує i єдиний.

Якщо при побудовi апроксимуючої функцiї використовується система лiнiйно незалежних функцiй, яка є ортогональною, тобто

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №11 - открытая онлайн библиотека

то система (2.39) спрощується i матриця Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №12 - открытая онлайн библиотека стає дiагональною. Параметри наближення обчислюються за формулою

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №13 - открытая онлайн библиотека

З погляду на це зручно застосовувати ортогональну систему лiнiйно незалежних функцiй.

Для перевiрки вiдповiдностi побудованої емпiричної формули експериментальним даним, по-перше, обчислюють значення апроксимуючої функцiї при табличних значеннях аргумента та порiвнюють цi значення з експериментальними (табличними) значеннями функцiї; по-друге, обчислюють середньоквадратичну похибку акпроксимацiї за формулою

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №14 - открытая онлайн библиотека

Якщо Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №15 - открытая онлайн библиотека , де Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №16 - открытая онлайн библиотека --- абсолютна похибка експериментальних даних, тобто, якщо математична похибка апроксимацiї значно бiльша фiзичної похибки вихiдних даних, то кiлькiсть коефiцiєнтiв Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №17 - открытая онлайн библиотека недостатня для опису Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №18 - открытая онлайн библиотека i треба збiльшити Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №1 - открытая онлайн библиотека . Якщо Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №20 - открытая онлайн библиотека , то старшi коефiцiєнти апроксимацiї фiзично не є вiрогiдними i треба зменшити Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №1 - открытая онлайн библиотека . Якщо Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №22 - открытая онлайн библиотека , то кiлькiсть коефiцiєнтiв оптимальна.

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома

Якщо емпiрична формула нелiнiйна вiдносно параметрiв, то її лінеаризують, тобто шляхом деяких перетворень вихідних змінних подають у вигляді лінійної функції.

Нехай, наприклад, апроксимуюча функцiя має вигляд

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №23 - открытая онлайн библиотека

Припускаючи, що у вихiднiй таблицi даних значення аргумента i значення функцiї додатнi, застосуємо попереднє логарифмування (при умовi Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №24 - открытая онлайн библиотека ):

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №25 - открытая онлайн библиотека

Позначимо

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №26 - открытая онлайн библиотека

тодi рiвнiсть (2.46) набуває вигляду

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №27 - открытая онлайн библиотека

тобто в системi координат Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №28 - открытая онлайн библиотека отримали лiнiйну залежнiсть.

На практиці, для знаходження апроксимуючої функцiї у виглядi (2.45) (в умовах зроблених припущень) необхiдно: 1) по заданiй таблицi скласти нову таблицю, прологарифмувавши значення Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №29 - открытая онлайн библиотека та Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №30 - открытая онлайн библиотека у вихiднiй таблицi; 2) за даними нової таблицi методом найменших квадратiв знайти параметри Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №31 - открытая онлайн библиотека i Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №32 - открытая онлайн библиотека апроксимуючої функцiї (2.48); 3) використовуючи формули (2.47), знайти значення параметрiв Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №33 - открытая онлайн библиотека i пiдставити їх у вираз (2.45). Це i буде шукана емпiрична формула.

Описаний алгоритм можна застосувати також i в деяких iнших випадках, коли емпiрична формула не є полiномом, але шляхом вiдповiдної замiни змiнних зводиться до нього. Замiни змiнних, якi зводять степеневу, показникову, гiперболiчну, логарифмiчну залежностi до лiнiйної, наведенi у таблицi 2.6.

Таблиця 2.6

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №34 - открытая онлайн библиотека

Приклад 2.6. Методом найменших квадратів побудувати функцію, апроксимуючу залежність, яка задана таблицею,

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №35 - открытая онлайн библиотека

у виглядi елементарної функцiї Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №36 - открытая онлайн библиотека .

Розв'язування. Згiдно з таблицею 2.6 зробимо замiну змiнних Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №37 - открытая онлайн библиотека . Тодi шукана залежнiсть набуває вигляду

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №38 - открытая онлайн библиотека

Параметри Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №31 - открытая онлайн библиотека i Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №32 - открытая онлайн библиотека знаходяться так само, як i в прикладi 2.5, але за основу береться нова таблиця значень змiнних Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №41 - открытая онлайн библиотека i Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №42 - открытая онлайн библиотека .

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №43 - открытая онлайн библиотека

Система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь вiдносно невiдомих Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №44 - открытая онлайн библиотека (нормальна система) у цьому випадку має вигляд

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №45 - открытая онлайн библиотека

Розв'язавши її, отримуємо Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №46 - открытая онлайн библиотека .

Звiдси Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №47 - открытая онлайн библиотека .

Шукана емпiрична формула має вигляд

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №48 - открытая онлайн библиотека

Обчислимо середньоквадратичну похибку апроксимацiї даної залежностi функцiєю (2.49)

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №49 - открытая онлайн библиотека

Для цього складемо нову таблицю

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №50 - открытая онлайн библиотека

Таким чином, із останьої колонки таблиці отримуємо

Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №51 - открытая онлайн библиотека

Порівнюючи середньоквадратичні похибки Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №52 - открытая онлайн библиотека i Апроксимацiя функцiй однiєї змiнної елементарними функцiями, вiдмiнними вiд полiнома - №53 - открытая онлайн библиотека (з прикладу 2.6) можна зробити висновок, що ця функцiя краще наближує дану експериментальну залежнiсть, нiж лiнiйна функцiя (2.36).