Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегральное исчисление функции одной переменной

Справочный материал по теме

Интегрирование простейших дробей

Опр. Простейшими называются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n– натуральные числа (m³2, n³2) и b2– 4ac<0.

Интегралы от элементарных дробей вида Iи IIприводятся к табличным подстановкой t= ax+ b.

I.

II.

Интеграл дроби вида IIIможет быть представлен в виде:

Примеры.

Интегрирование простейших дробей IVтипаосновано на использовании следующей рекуррентной формулы:

В общем виде:

Первый интеграл с помощью подстановки t= u2+ sприводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x- a)a…(x- b)b(x2 + px+ q)l…(x2 + rx+ s)m), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si– некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Siприменяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример.

Вычислить интеграл:

Т.к. ( , то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Пример.

Вычислить интеграл:

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

Разложим знаменатель полученной дроби на множители.

3x3– 4x2– 17x+ 6 = (x– 3)(3x2+ 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2 )(3x– 1).

Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю.

Получаем:

=

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интеграл вида .

R–некоторая рациональная функциия от переменных sinxи cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Пример.Вычислить интеграл:

Интеграл вида , если функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t= sinx.

Функция может содержать cosxтолько в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Пример.

Интеграл вида , если функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t= cosx.

Тогда

Интеграл вида , если функция Rчетная относительно sinxи cosx.

Для преобразования функции Rв рациональную используется подстановка t= tgx. Тогда

Пример.

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Пример.