Целочисленные прямоугольные треугольники

Исследовательская работа

по математике

Автор: Сагитова Елена[4],

ученица 7 класса

лицея № 19 г. Тольятти

Руководители:  Утеева Р.А.,

Бабрышов Н.Г.

учитель математики высшей категории

лицея № 19 г. Тольятти

г. Тольятти, 1998.

Приложение 2

Образец оформления введения

ВВЕДЕНИЕ

Основная цель работы: исследование  
целочисленных прямоугольных треугольников.

Данная тема представляет определенный интерес, так как её истоки относятся к древности, так называемой знаменитой теореме Пифагора.

Основные задачи исследования:

1) познакомиться с понятием целочисленного прямоугольного треугольника;

2) выяснить, существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники, гипотенузой которых является данное число n ( n £20);

3) выяснить, при каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, а при каких – не является;

4) выяснить, какими могут быть значения катетов и гипотенузы целочисленных прямоугольных треугольников ( в смысле четности).

Основные методы решения поставленных задач: метод наблюдения за числами; метод
подбора и проб; чтение дополнительной литературы; составление таблиц и сравнение результатов; метод обобщения.

Приложение 3

Образец оформления основной части работы

Часть 1. Основные понятия, используемые в работе

1.1. Понятие прямоугольного треугольника

Определение 1. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны треугольника, образующие прямой угол называются катетами, а третья сторона, лежащая против прямого угла – гипотенузой.

Обычно длины катетов обозначают буквами a и  b, длину гипотенузы – с, причем a +  b >с.

1.2. Теорема Пифагора

Теорема: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов, т.е. с помощью обозначений эту теорему можно записать так: a2 +b2 = с2 .

В настоящее время известно более 150 доказательств теоремы Пифагора, на которых мы не будем останавливаться, так как это не является предметом данной работы.

Отметим лишь, что эта теорема была известна в Древнем Вавилоне еще задолго до Пифагора (580-500 гг. до н.э.), примерно за 1000 лет.
По-видимому,  её назвали именем древнегреческого математика Пифагора, так как согласно
легенде, он одним из первых доказал ее.

В геометрии также доказана и обратная теорема к теореме Пифагора: если длины сторон треугольника a ,  b и с  удовлетворяют условию        a2 +b2 = с2 (1), то такой треугольник будет прямоугольным.

1.3. Понятие целочисленного прямоугольного треугольника

Треугольник со сторонами 3,4 и 5 является прямоугольным ( по обратной теореме Пифагора), так как удовлетворяет указанному выше условию (1). Такие треугольники называются целочисленными прямоугольными треугольниками. Некоторые такие треугольники были известны еще в Древнем Вавилоне и Египте, например, треугольники с длинами сторон 5,12 и 13; 17, 24 и 25.

Понятие целочисленного треугольника тесно связано с понятием диофантового уравнения, т.е. уравнения вида х2+y2=z2, которые также называются вавилонскими, а тройка чисел, удовлетворяющая этому уравнению, называется пифагоровой.

Часть 2. Постановка и решение задач

Исследования

2.1. Постановка первой задачи

Пусть дано, например. число n =12. Существует ли целочисленный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12?

Решение:

Пусть х и у – катеты прямоугольного
треугольника и 0 < у £ х < 12.

Тогда х2+y2=122 или х2+y2=144.

Составим таблицу 1.

Таблица 1

х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
х2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
у2 143 140 135 128 119 108 95 80 63 44 23

Из таблицы видно. что не существует целого значения у, значит не существует и целочисленного прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 12.

Ответ: не существует целочисленного
прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы, равной 12.

Пусть теперь n =13. Тогда нам нужно
решить уравнение х2+y2=169. 

Аналогично составим таблицу 2.

Таблица 2

х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
х2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
у2 168 165 160 153 144 133 120 105 88 69 48 25

Из таблицы видно, что существует два
целых значения у: у=12 и у=5, значит с гипотенузой, равной 13, существует целочисленный прямоугольный треугольник с длинами сторон 5,12 и 13.

Для того чтобы и дальше не составлять
аналогичные таблицы, поступим по-другому. Так как по условию существования треугольника  
х+у > n и, мы положили, что у £ х, значит
х2+y2£ 2х2, а 2х2³ n2. Итак, 2х2³169, отсюда находим, что х2³84. Значит, достаточно проверить лишь три значения х2: 100, 121 и 144. Находим у2, из которых только одно значение целое. Это у=5 при х = 12.

Аналогично исследуем все остальные значения n (n £20). Результаты представим в виде
таблицы 3 ( Приложение). Ясно, что n ³3.

Треугольники со сторонами (3;4;5). (6;8;10), (9;12;15) подобны, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только не подобные треугольники с гипотенузой n =5,13 и 17. Все эти числа оказались нечетными простыми числами.

Итак, сделаем первый вывод: существуют три ( не подобных) целочисленных прямоугольных треугольника с гипотенузой n, равной нечетному простому числу, где n£20.

2.2. Постановка второй задачи

При каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, а при каких – не является?

Составим таблицу 4.

нечетное простое число р Прямоугольные треугольники с гипотенузой р
3 не существует
5 25= 16+9
7 не существует
11 не существует
13 169 = 144 +25
17 289= 225+64
19 не существует
23 не существует
29 841= 441+400
31 не существует

Выпишем простые нечетные числа в два ряда и понаблюдаем за ними:

5, 13,17,29, … и 3,7,11,19,23,31, …

8 4 12         4 4 8 4 8

Итак, сделаем второй вывод: все разности делятся на 4, причем в первом случае остаток от деления простых чисел на 4 равен 1,  а во втором -3.

Возникает гипотеза: простое число вида 4к+1 является гипотенузой, а простое число вида 4к+3 –не является. Проверим ее.

2.3. Теорема о примитивной

пифагоровой тройке

Определение 2. Пифагорову тройку чисел, в которой все числа взаимно просты, называют
примитивной.

Например, (3,4,5) –примитивная пифагорова тройка, а (6,8,10) –непримитивная.

Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть четными ( тогда и третье число должно быть четным), но все они не могут одновременно быть нечетными.

Вывод: в примитивной пифагоровой тройке должно быть одно число четное, а два нечетных.

……………………………………………..

Замечание: 1. Надеемся, что на данном
примере мы смогли показать вам, как примерно можно представить результаты своего исследования.

Мы не стали здесь приводить всю работу целиком, а показали лишь, как можно оформить её.

Приложение 4

Образец оформления заключения

Заключение

Проведенная выше работа позволила мне сделать следующие выводы:

1. Существует три ( не подобных) целочисленных прямоугольных треугольника с гипотенузой n ( n £20), равной нечетному простому числу. В общем случае, конечно их бесконечно много, так как доказано в математике, что простых чисел бесконечно много.

2. В целочисленных примитивных прямоугольных треугольниках только одна сторона
может быть выражена четным числом, остальные две стороны – нечетным.

3. В целочисленных примитивных прямоугольных треугольниках гипотенуза не может быть выражена четным числом.

4. Стороны целочисленного прямоугольного треугольника могут быть найдены по различным формулам. Вывод одной из них представлен в
работе.

Приложение 5

Образец оформления  

списка использованной литературы

Литература:

1. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10-11 классов общеобразоват. учрежд. – М., 1996. С. 83-87.

2. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики /Квантор.-1991.№6.С.33-35.

3. Пойа Дж. Математика и правдоподобные
рассуждения: перевод с анг. И.А. Вайнштейна /Под ред. С.А. Яновской. –Изд. 2-е.-М., 1975.С.80-82.

Учебное издание

Елена Юрьевна Сагитова, студентка группы  М 401
факультета математики и информатики ТГУ

Роза Азербаевна  Утеева, доктор педагогических наук, профессор, зав.кафедрой алгебры и геометрии ТГУ