Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением векторов Скалярное произведение двух векторов - №1 - открытая онлайн библиотека = (х1, х2, …, хп) и Скалярное произведение двух векторов - №2 - открытая онлайн библиотека = (у1,
у2, …, уп) называется число Скалярное произведение двух векторов - №3 - открытая онлайн библиотека , равное сумме произведений соответствующих координат векторов Скалярное произведение двух векторов - №1 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение двух векторов - №2 - открытая онлайн библиотека :

Скалярное произведение двух векторов - №6 - открытая онлайн библиотека .

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. Скалярное произведение двух векторов - №3 - открытая онлайн библиотека = Скалярное произведение двух векторов - №8 - открытая онлайн библиотека .

2. Скалярное произведение двух векторов - №9 - открытая онлайн библиотека , Скалярное произведение двух векторов - №10 - открытая онлайн библиотека .

3. Скалярное произведение двух векторов - №11 - открытая онлайн библиотека .

4. Скалярное произведение двух векторов - №12 - открытая онлайн библиотека Скалярное произведение двух векторов - №13 - открытая онлайн библиотека 0, если Скалярное произведение двух векторов - №14 - открытая онлайн библиотека , и Скалярное произведение двух векторов - №15 - открытая онлайн библиотека , если Скалярное произведение двух векторов - №16 - открытая онлайн библиотека .

Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Линейной комбинацией векторов Скалярное произведение двух векторов - №17 - открытая онлайн библиотека называется вектор вида

Скалярное произведение двух векторов - №18 - открытая онлайн библиотека , (1)

где Скалярное произведение двух векторов - №19 - открытая онлайн библиотека , Скалярное произведение двух векторов - №20 - открытая онлайн библиотека .

Пример. Пусть Скалярное произведение двух векторов - №21 - открытая онлайн библиотека = (2;1;0), Скалярное произведение двух векторов - №22 - открытая онлайн библиотека = (1;0;1), Скалярное произведение двух векторов - №23 - открытая онлайн библиотека = (0;1;2). Вектор Скалярное произведение двух векторов - №24 - открытая онлайн библиотека = (0;4;4) - линейная комбинация векторов Скалярное произведение двух векторов - №25 - открытая онлайн библиотека , так как Скалярное произведение двух векторов - №24 - открытая онлайн библиотека = 1· Скалярное произведение двух векторов - №21 - открытая онлайн библиотека –2 · Скалярное произведение двух векторов - №22 - открытая онлайн библиотека + 3 · Скалярное произведение двух векторов - №23 - открытая онлайн библиотека .

В случае выполнения равенства (1) говорят, что вектор Скалярное произведение двух векторов - №24 - открытая онлайн библиотека линейно выражается через векторы Скалярное произведение двух векторов - №31 - открытая онлайн библиотека , Скалярное произведение двух векторов - №20 - открытая онлайн библиотека или разлагается по этим
векторам.

Система ненулевых векторов вида

Скалярное произведение двух векторов - №33 - открытая онлайн библиотека (2)

называется линейно зависимой, если существуют числа Скалярное произведение двух векторов - №34 - открытая онлайн библиотека , Скалярное произведение двух векторов - №20 - открытая онлайн библиотека , не все равные нулю, такие, что

Скалярное произведение двух векторов - №36 - открытая онлайн библиотека . (3)

Если же равенство (3) для данной системы векторов Скалярное произведение двух векторов - №33 - открытая онлайн библиотека возможно лишь при Скалярное произведение двух векторов - №38 - открытая онлайн библиотека , то эта система векторов называется линейно независимой.

Базис и ранг системы векторов

Пусть дана система векторов (2).

Максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов (2) называется такой частичный набор векторов этой системы, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Векторы этого набора линейно независимы.

2. Любой вектор системы (2) линейно выражается через векторы этого набора.

Максимальная линейно независимая подсистема системы векто-
ров (2) называется ее базисом.

Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса.

Система векторов называется базисом пространства Rn, если:

1. Векторы этой системы линейно независимы.

2. Всякий вектор из Rn линейно выражается через векторы данной системы.

Матрицы

Прямоугольная таблица чисел вида

Скалярное произведение двух векторов - №39 - открытая онлайн библиотека ,

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей Скалярное произведение двух векторов - №40 - открытая онлайн библиотека .

Здесь aij - действительные числа (i = 1, 2, …, m, j = 1, 2,…, n), которые называются элементами матрицы. Индекс i указывает на номер строки, а индекс j - номер столбца. На их пересечении находится элемент aij.

Матрица, все элементы которой являются нулями, называется нулевой.

В случае, когда т = п (число строк равно числу столбцов), матрица А называется квадратной матрицей n-го порядка:

Скалярное произведение двух векторов - №41 - открытая онлайн библиотека .

Главной диагональю квадратной матрицы называется ее диагональ, составленная из элементов a11, a22,…, ann.

Квадратная матрица Скалярное произведение двух векторов - №42 - открытая онлайн библиотека называется единичной, если элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы - нулю.

Очевидно, строки матрицы An´m образуют систему n-мерных векторов Скалярное произведение двух векторов - №43 - открытая онлайн библиотека .

Рангом матрицы Скалярное произведение двух векторов - №44 - открытая онлайн библиотека назовем ранг этой системы Скалярное произведение двух векторов - №43 - открытая онлайн библиотека .

Следующие преобразования матрицы А назовем элементарными:

1. Перестановка местами двух ее строк (столбцов).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

3. Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Для практического вычисления ранга матрицы A ее удобно при помощи элементарных преобразований приводить к виду

Скалярное произведение двух векторов - №46 - открытая онлайн библиотека .

Тогда ранг матрицы А равен числу единиц на диагонали матрицы A', т. е. числу r.

Действия над матрицами

Суммой двух матриц Ап´т = (аij) и Bп´т = (bij) называется такая третья матрица Сп´т = (сij), что сij = аij + bij.

Произведением матрицы Ап´т = (аij) на число Скалярное произведение двух векторов - №47 - открытая онлайн библиотека называется такая матрица Bп´т = Скалярное произведение двух векторов - №47 - открытая онлайн библиотека · Ап´т = (dij), что dij = Скалярное произведение двух векторов - №47 - открытая онлайн библиотека · аij.

Пример. Если Скалярное произведение двух векторов - №50 - открытая онлайн библиотека , Скалярное произведение двух векторов - №51 - открытая онлайн библиотека , то С = 2А – 3В = = Скалярное произведение двух векторов - №52 - открытая онлайн библиотека Скалярное произведение двух векторов - №53 - открытая онлайн библиотека = Скалярное произведение двух векторов - №54 - открытая онлайн библиотека + Скалярное произведение двух векторов - №55 - открытая онлайн библиотека =
= Скалярное произведение двух векторов - №56 - открытая онлайн библиотека .

Произведением матриц Ап´т = (аij) и Bm´k = (bij) называется такая третья матрица Сп´k = (сij), что cij = аi1 · b1j + аi2 · b2j +…+ аim · bmj .

Пример. Если Скалярное произведение двух векторов - №57 - открытая онлайн библиотека , Скалярное произведение двух векторов - №58 - открытая онлайн библиотека , то C = A · B =
= Скалярное произведение двух векторов - №59 - открытая онлайн библиотека = Скалярное произведение двух векторов - №60 - открытая онлайн библиотека .

Определители

Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det A (или |A|, или Скалярное произведение двух векторов - №61 - открытая онлайн библиотека ), называемое ее определителем, следующим образом:

1. Если п = 1, A = (a11), тогда определитель первого порядка имеет вид

|A| = Скалярное произведение двух векторов - №62 - открытая онлайн библиотека = |a11| = a11.

2. Если п = 2, Скалярное произведение двух векторов - №63 - открытая онлайн библиотека , тогда определитель второго порядка вычисляется по формуле

Скалярное произведение двух векторов - №64 - открытая онлайн библиотека .

3. Если п = 3, Скалярное произведение двух векторов - №65 - открытая онлайн библиотека , то матрице третьего порядка соответствует определитель

Скалярное произведение двух векторов - №66 - открытая онлайн библиотека

Это выражение получается по правилу треугольников (правилу Саррюса). Его можно пояснить схемами, на которых элементы, входящие в одно произведение с указанным знаком, соединены отрезками (рис. 9).

 
Скалярное произведение двух векторов - №67 - открытая онлайн библиотека
Рис. 9
 

Пример.

Скалярное произведение двух векторов - №68 - открытая онлайн библиотека