Вычисление производной, для функции заданной явно

По определению производной, производную в какой-то точке можно найти по такой формуле:

Вычисление производной, для функции заданной явно - №1 - открытая онлайн библиотека

Однако, чтобы найти производную в общем виде, данная формула нам не подойдёт. В таком случае, наиболее рациональным будет решение воспользоваться таблицей производных для несложных функций:

Производные степенных функций Производные тригонометрических функций Производные обратных тригонометрических функций
Вычисление производной, для функции заданной явно - №2 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №3 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №4 - открытая онлайн библиотека
Вычисление производной, для функции заданной явно - №5 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №6 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №7 - открытая онлайн библиотека
Вычисление производной, для функции заданной явно - №8 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №9 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №10 - открытая онлайн библиотека
Вычисление производной, для функции заданной явно - №11 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №12 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №13 - открытая онлайн библиотека

Где Вычисление производной, для функции заданной явно - №14 - открытая онлайн библиотека
Вычисление производной, для функции заданной явно - №15 - открытая онлайн библиотека

Если функция является сложной, то её производную также можно найти. Рассмотрим, как это возможно сделать, на основе примера. Пусть есть функция:

y = f(g(x)) . Для того, чтобы найти её производную для начала нужно найти производную самой «внешней» функции (в данном примере – f ), а потом умножить на производную внутренней функции (g). Выполним первое действие и получим: f ’ ( g(x) )(1), выполним второе и получим:

g ’ (x)(2). Теперь, как и говорилось ранее умножим (1) на (2) и получим:

y’ = f ‘ (g(x)) * g’(x).

Но, что делать если в заданной функции не 2 простых функции, а, ну например, N. В таком случае,

необходимо брать производную от самой «внешней» функции (3) и умножать на производную той функции, которая является самой внешней в аргументах (3), после чего подобную процедуру проделать для всех последующих функций, делая это до того момента, пока не дойдём до простой функции. Другими словами, это можно записать вот так:

y = f1( f2(…fN(x…) ) => y’ = f1 ‘ ( f2(…fN(x)…) ) * f2 ‘ (…fN(x)…) * … * fN ’ (x)

Примеры:

1) Найти производную функции: y = sin(x ^ 2).

Решение: для начала, выделим самую «внешнюю» функцию и возьмём её производную. Самой внешней в данном примере будет функция синуса (1). Возьмём производную и получим:

cos(x ^ 2)(2)

Самой внешней в аргументах (1) будет функция возведенияХв степень2.

Возьмём производную и от неё и получим:

(3).

А теперь перемножим (2) и (3), как и говорилось ранее, таким образом, получим:

y’ = 2x * cos(x ^ 2)

Ответ:y’ = 2x * cos(x ^ 2)

2) Найти производную функции: y = ( sin(x ^ 2) ) ^ 2

Решение: алгоритм выполнения действий такой же, однако в данном случае самой внешней функцией будет уже не просто синус, а возведение синуса в степень 2.Используя тот же алгоритм, получим:

2sin(x^2) (1)

cos(x ^ 2) (2)

X (3)

Все, что осталось сделать - перемножить (1), (2) и (3). Сделаем это и получим:

y ‘=2sin(x^2) * cos(x ^ 2) * 2x

Преобразуем полученное выражение с помощью тригонометрических формул и получим:

y ‘=sin(2 * (x^2) ) * 2x

Ответ: y ‘=sin(2 * (x^2) ) * 2x

Сумма, разница, произведение и частное функций вычисляется по таким формулам:

1.

Вычисление производной, для функции заданной явно - №16 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №17 - открытая онлайн библиотека

2.

Вычисление производной, для функции заданной явно - №18 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №19 - открытая онлайн библиотека

3.

Вычисление производной, для функции заданной явно - №20 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной явно - №21 - открытая онлайн библиотека