По определению производной, производную в какой-то точке можно найти по такой формуле:
Однако, чтобы найти производную в общем виде, данная формула нам не подойдёт. В таком случае, наиболее рациональным будет решение воспользоваться таблицей производных для несложных функций:
| Производные степенных функций | Производные тригонометрических функций | Производные обратных тригонометрических функций |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
Где 
Если функция является сложной, то её производную также можно найти. Рассмотрим, как это возможно сделать, на основе примера. Пусть есть функция:
y = f(g(x)) . Для того, чтобы найти её производную для начала нужно найти производную самой «внешней» функции (в данном примере – f ), а потом умножить на производную внутренней функции (g). Выполним первое действие и получим: f ’ ( g(x) )(1), выполним второе и получим:
g ’ (x)(2). Теперь, как и говорилось ранее умножим (1) на (2) и получим:
y’ = f ‘ (g(x)) * g’(x).
Но, что делать если в заданной функции не 2 простых функции, а, ну например, N. В таком случае,
необходимо брать производную от самой «внешней» функции (3) и умножать на производную той функции, которая является самой внешней в аргументах (3), после чего подобную процедуру проделать для всех последующих функций, делая это до того момента, пока не дойдём до простой функции. Другими словами, это можно записать вот так:
y = f1( f2(…fN(x…) ) => y’ = f1 ‘ ( f2(…fN(x)…) ) * f2 ‘ (…fN(x)…) * … * fN ’ (x)
Примеры:
1) Найти производную функции: y = sin(x ^ 2).
Решение: для начала, выделим самую «внешнюю» функцию и возьмём её производную. Самой внешней в данном примере будет функция синуса (1). Возьмём производную и получим:
cos(x ^ 2)(2)
Самой внешней в аргументах (1) будет функция возведенияХв степень2.
Возьмём производную и от неё и получим:
2х(3).
А теперь перемножим (2) и (3), как и говорилось ранее, таким образом, получим:
y’ = 2x * cos(x ^ 2)
Ответ:y’ = 2x * cos(x ^ 2)
2) Найти производную функции: y = ( sin(x ^ 2) ) ^ 2
Решение: алгоритм выполнения действий такой же, однако в данном случае самой внешней функцией будет уже не просто синус, а возведение синуса в степень 2.Используя тот же алгоритм, получим:
2sin(x^2) (1)
cos(x ^ 2) (2)
X (3)
Все, что осталось сделать - перемножить (1), (2) и (3). Сделаем это и получим:
y ‘=2sin(x^2) * cos(x ^ 2) * 2x
Преобразуем полученное выражение с помощью тригонометрических формул и получим:
y ‘=sin(2 * (x^2) ) * 2x
Ответ: y ‘=sin(2 * (x^2) ) * 2x
Сумма, разница, произведение и частное функций вычисляется по таким формулам:
1.
2.
3.
