Моделирование сезонных колебаний

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Моделирование сезонных колебаний - №1 - открытая онлайн библиотека . (4.3)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой ( Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека ), сезонной ( Моделирование сезонных колебаний - №3 - открытая онлайн библиотека ) и случайной ( Моделирование сезонных колебаний - №4 - открытая онлайн библиотека ) компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

Моделирование сезонных колебаний - №5 - открытая онлайн библиотека . (4.4)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой ( Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека ), сезонной ( Моделирование сезонных колебаний - №3 - открытая онлайн библиотека ) и случайной ( Моделирование сезонных колебаний - №4 - открытая онлайн библиотека ) компонент.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека , Моделирование сезонных колебаний - №3 - открытая онлайн библиотека и Моделирование сезонных колебаний - №4 - открытая онлайн библиотека для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2) Расчет значений сезонной компоненты Моделирование сезонных колебаний - №3 - открытая онлайн библиотека .

3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ( Моделирование сезонных колебаний - №13 - открытая онлайн библиотека ) в аддитивной или ( Моделирование сезонных колебаний - №14 - открытая онлайн библиотека ) в мультипликативной модели.

4) Аналитическое выравнивание уровней ( Моделирование сезонных колебаний - №13 - открытая онлайн библиотека ) или ( Моделирование сезонных колебаний - №14 - открытая онлайн библиотека ) и расчет значений Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека с использованием полученного уравнения тренда.

5) Расчет полученных по модели значений ( Моделирование сезонных колебаний - №13 - открытая онлайн библиотека ) или ( Моделирование сезонных колебаний - №14 - открытая онлайн библиотека ).

6) Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Моделирование сезонных колебаний - №4 - открытая онлайн библиотека для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.

Пример. Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года, представленным в табл. 4.1.

Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 4.5).

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 4.5). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 4.5).

Таблица 4.5

№ квартала, Моделирование сезонных колебаний - №21 - открытая онлайн библиотека Количество правонарушений, Моделирование сезонных колебаний - №22 - открытая онлайн библиотека Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
657,5
655,25 213,75
665,5 349,5
708,75 693,75 -336,75
709,375 -238,375
718,25 714,125 277,875
689,25 703,75 316,25
689,25 689,25 -299,25
660,5 674,875 -319,875
678,25 669,375 322,625
690,625 214,375
-233
690,5 687,75 -233,75

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 4.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты Моделирование сезонных колебаний - №3 - открытая онлайн библиотека (табл. 4.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Моделирование сезонных колебаний - №24 - открытая онлайн библиотека . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 4.6

Показатели Год № квартала, Моделирование сезонных колебаний - №25 - открытая онлайн библиотека
I II III IV
  213,75 349,5
-336,75 -238,375 277,875 316,25
-299,25 -319,875 322,625 214,375
-233 -233,75
Всего за Моделирование сезонных колебаний - №25 - открытая онлайн библиотека -й квартал   -869 -792 814,25 880,125
Средняя оценка сезонной компоненты для Моделирование сезонных колебаний - №25 - открытая онлайн библиотека -го квартала, Моделирование сезонных колебаний - №28 - открытая онлайн библиотека   -289,667 -264 271,417 293,375
Скорректированная сезонная компонента, Моделирование сезонных колебаний - №24 - открытая онлайн библиотека   -292,448 -266,781 268,636 290,593

Для данной модели имеем:

Моделирование сезонных колебаний - №30 - открытая онлайн библиотека .

Корректирующий коэффициент: Моделирование сезонных колебаний - №31 - открытая онлайн библиотека .

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты ( Моделирование сезонных колебаний - №32 - открытая онлайн библиотека ) и заносим полученные данные в таблицу 4.6.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

Моделирование сезонных колебаний - №33 - открытая онлайн библиотека .

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Моделирование сезонных колебаний - №34 - открытая онлайн библиотека (гр. 4 табл. 4.7). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 4.7

Моделирование сезонных колебаний - №21 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №22 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №24 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №38 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №40 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №41 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №42 - открытая онлайн библиотека
-292,448 667,448 672,700 380,252 -5,252 27,584
-266,781 637,781 673,624 406,843 -35,843 1284,721
268,636 600,364 674,547 943,183 -74,183 5503,117
290,593 724,407 675,470 966,063 48,937 2394,830
-292,448 649,448 676,394 383,946 -26,946 726,087
-266,781 737,781 677,317 410,536 60,464 3655,895
268,636 723,364 678,240 946,876 45,124 2036,175
290,593 729,407 679,163 969,756 50,244 2524,460
-292,448 682,448 680,087 387,639 2,361 5,574
-266,781 621,781 681,010 414,229 -59,229 3508,074
268,636 723,364 681,933 950,569 41,431 1716,528
290,593 614,407 682,857 973,450 -68,450 4685,403
-292,448 753,448 683,780 391,332 69,668 4853,630
-266,781 720,781 684,703 417,922 36,078 1301,622
268,636 651,364 685,627 954,263 -34,263 1173,953
290,593 636,407 686,550 977,143 -50,143 2514,320

Шаг 4. Определим компоненту Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда ( Моделирование сезонных колебаний - №13 - открытая онлайн библиотека ) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Моделирование сезонных колебаний - №45 - открытая онлайн библиотека .

Подставляя в это уравнение значения Моделирование сезонных колебаний - №46 - открытая онлайн библиотека , найдем уровни Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека для каждого момента времени (гр. 5 табл. 4.7).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 4.7).

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.

Моделирование сезонных колебаний - №49 - открытая онлайн библиотека

Рис. 4.6.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

Моделирование сезонных колебаний - №50 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение Моделирование сезонных колебаний - №51 - открытая онлайн библиотека уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Моделирование сезонных колебаний - №45 - открытая онлайн библиотека .

Получим

Моделирование сезонных колебаний - №53 - открытая онлайн библиотека ;

Моделирование сезонных колебаний - №54 - открытая онлайн библиотека .

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: Моделирование сезонных колебаний - №55 - открытая онлайн библиотека и Моделирование сезонных колебаний - №56 - открытая онлайн библиотека . Таким образом,

Моделирование сезонных колебаний - №57 - открытая онлайн библиотека ;

Моделирование сезонных колебаний - №58 - открытая онлайн библиотека .

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера.

Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Таблица 4.8

№ квартала, Моделирование сезонных колебаний - №21 - открытая онлайн библиотека Количество правонарушений, Моделирование сезонных колебаний - №60 - открытая онлайн библиотека Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
657,5
655,25 1,3262
665,5 1,5252
708,75 693,75 0,5146
709,375 0,6640
718,25 714,125 1,3891
689,25 703,75 1,4494
689,25 689,25 0,5658
660,5 674,875 0,5260
678,25 669,375 1,4820
690,625 1,3104
0,6643
690,5 687,75 0,6601

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 табл. 4.8). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты Моделирование сезонных колебаний - №3 - открытая онлайн библиотека (табл. 4.9). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты Моделирование сезонных колебаний - №24 - открытая онлайн библиотека . Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

Таблица 4.9

Показатели Год № квартала, Моделирование сезонных колебаний - №25 - открытая онлайн библиотека
I II III IV
  1,3262 1,5252
0,5146 0,6640 1,3891 1,4494
0,5658 0,5260 1,4820 1,3104
0,6643 0,6601
Всего за Моделирование сезонных колебаний - №25 - открытая онлайн библиотека -й квартал   1,7447 1,8501 4,1973 4,2850
Средняя оценка сезонной компоненты для Моделирование сезонных колебаний - №25 - открытая онлайн библиотека -го квартала, Моделирование сезонных колебаний - №28 - открытая онлайн библиотека   0,5816 0,6167 1,3991 1,4283
Скорректированная сезонная компонента, Моделирование сезонных колебаний - №24 - открытая онлайн библиотека   0,5779 0,6128 1,3901 1,4192

Имеем

Моделирование сезонных колебаний - №68 - открытая онлайн библиотека .

Определяем корректирующий коэффициент:

Моделирование сезонных колебаний - №69 - открытая онлайн библиотека .

Скорректированные значения сезонной компоненты Моделирование сезонных колебаний - №24 - открытая онлайн библиотека получаются при умножении ее средней оценки Моделирование сезонных колебаний - №28 - открытая онлайн библиотека на корректирующий коэффициент Моделирование сезонных колебаний - №72 - открытая онлайн библиотека .

Проверяем условие равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:

Моделирование сезонных колебаний - №73 - открытая онлайн библиотека .

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины Моделирование сезонных колебаний - №74 - открытая онлайн библиотека (гр. 4 табл. 4.10), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 4.10

Моделирование сезонных колебаний - №21 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №22 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №24 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №78 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №80 - открытая онлайн библиотека Моделирование сезонных колебаний - №81 - открытая онлайн библиотека
0,5779 648,9012 654,9173 378,4767 0,9908
0,6128 605,4178 658,1982 403,3439 0,9198
1,3901 625,1349 661,4791 919,5221 0,9451
1,4192 715,1917 664,7600 943,4274 1,0759
0,5779 617,7539 668,0409 386,0608 0,9247
0,6128 768,6031 671,3218 411,3860 1,1449
1,3901 713,6177 674,6027 937,7652 1,0578
1,4192 718,7148 677,8836 962,0524 1,0602
0,5779 674,8572 681,1645 393,6450 0,9907
0,6128 579,3081 684,4454 419,4281 0,8464
1,3901 713,6177 687,7263 956,0083 1,0377
1,4192 637,6832 691,0072 980,6774 0,9228
0,5779 797,7159 694,2881 401,2291 1,1490
0,6128 740,8616 697,5690 427,4703 1,0621
1,3901 661,8229 700,8499 974,2515 0,9443
1,4192 653,1849 704,1308 999,3024 0,9277

Шаг 4. Определим компоненту Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни Моделирование сезонных колебаний - №14 - открытая онлайн библиотека . В результате получим уравнение тренда:

Моделирование сезонных колебаний - №84 - открытая онлайн библиотека .

Подставляя в это уравнение значения Моделирование сезонных колебаний - №46 - открытая онлайн библиотека , найдем уровни Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека для каждого момента времени (гр. 5 табл. 4.10).

Шаг 5. Найдем уровни ряда, умножив значения Моделирование сезонных колебаний - №2 - открытая онлайн библиотека на соответствующие значения сезонной компоненты (гр. 6 табл. 4.10). На одном графике откладываем фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели.

Моделирование сезонных колебаний - №88 - открытая онлайн библиотека

Рис. 4.7.

Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:

Моделирование сезонных колебаний - №89 - открытая онлайн библиотека .

Для сравнения мультипликативной модели и других моделей временного ряда можно, по аналогии с аддитивной моделью, использовать сумму квадратов абсолютных ошибок Моделирование сезонных колебаний - №90 - открытая онлайн библиотека :

Моделирование сезонных колебаний - №91 - открытая онлайн библиотека .

Сравнивая показатели детерминации аддитивной и мультипликативной моделей, делаем вывод, что они примерно одинаково аппроксимируют исходные данные.

Шаг 6. Прогнозирование по мультипликативной модели. Если предположить, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года, прогнозное значение Моделирование сезонных колебаний - №51 - открытая онлайн библиотека уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Моделирование сезонных колебаний - №84 - открытая онлайн библиотека .

Получим

Моделирование сезонных колебаний - №94 - открытая онлайн библиотека ;

Моделирование сезонных колебаний - №95 - открытая онлайн библиотека .

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: Моделирование сезонных колебаний - №96 - открытая онлайн библиотека и Моделирование сезонных колебаний - №97 - открытая онлайн библиотека . Таким образом

Моделирование сезонных колебаний - №98 - открытая онлайн библиотека ;

Моделирование сезонных колебаний - №99 - открытая онлайн библиотека .

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 409 и 436 правонарушений соответственно.

Таким образом, аддитивная и мультипликативная модели дают примерно одинаковый результат по прогнозу.