Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика

Комплексная контрольная работа по разделу «Теоретическая механика» включает три задания:

- задание С1 по теме «Статика»;

- задание К1 по теме «Кинематика»;

- задание Д3 по теме «Динамика».

К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С1.4 - это рис. 4 к задаче С1 и т.д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4 и т.д.). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берет рис. 4 и условия № 6 из таблицы.

Задания выполняются в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес, если работа высылается по почте.

Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывать). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям. В результате в целом ряде задач чертеж получится более простой, чем общий.

Чертеж должен бытьаккуратным и наглядным, а его размеры должны позволять ясно показать все силы или векторы скорости и ускорения и др.; необходимо обязательное изображение на чертеже всех вычисляемых векторов и координатных осей, а также указание единиц получаемых размерных величин. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т.п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверяться не будут и будут возвращаться для переделки.

К работе, предъявляемой на повторную проверку (если она выполнена в другой тетради), должна обязательно прилагаться незачтенная работа. На экзамене необходимо представить зачтенные по данному разделу курса работы, в которых все отмеченные погрешности должны быть исправлены.

При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. На рисунках к задачам С1 все линии, параллельные строкам, считаются горизонтальными, а перпендикулярные строкам - вертикальными и это в тексте задач специально не оговаривается. Также без оговорок считается, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми, нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят, катки и колеса (в динамике) катятся по плоскостям без скольжения. Все связи, если не сделано других оговорок, считаются идеальными.

Когда тела на рисунке пронумерованы, то в тексте задачи и в таблице Р1, l1, r1 и т.п. означают вес или размеры тела 1, P2, l2, r2 - тела 2 и т.д. Аналогично в кинематике и динамике Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №1 - открытая онлайн библиотека обозначают скорость и ускорение точки В, Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №2 - открытая онлайн библиотека - точки С; Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №3 - открытая онлайн библиотека - угловую скорость и угловое ускорение тела 1, Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №4 - открытая онлайн библиотека - тела 2 и т.д. В каждой задаче подобные обозначения могут тоже специально не оговариваться.

Следует также иметь в виду, что некоторыеиз заданных в условиях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи. Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на относящиеся к вашему варианту, т.е. к номеру вашего рисунка или вашего условия в таблице.

Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой "Указания"; затем дается пример решения аналогичной задачи. Цель примера - разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы.

СТАТИКА

Задание С1

Жесткая рама (рис. С1.0-С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ1, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №5 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №6 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №7 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №8 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №9 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №10 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №11 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №12 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №13 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №14 - открытая онлайн библиотека

Таблица С1

Сила Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №15 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №16 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №17 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №18 - открытая онлайн библиотека
Номер условия F1 = 10 H F2 = 20 H F3 = 30 H F4 = 40 H
Точка прилож. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №19 - открытая онлайн библиотека Точка прилож. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №20 - открытая онлайн библиотека Точка прилож. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №21 - открытая онлайн библиотека Точка прилож. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №22 - открытая онлайн библиотека
- - D E - -
K - - - - H
- - H K - -
D - - - - E
- - K E - -
H - - D - -
- - E - - K
D - - H - -
- - H - - D
T - - - - K

На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н×м и две силы, значения которых, направления и точки приложения указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действуют сила F1 = 10 Н под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке К, и сила F4 =40 Н под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке Н).

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м.

Указания. Задача C1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента силы Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №23 - открытая онлайн библиотека часто удобно разложить ее (согласно аксиоме параллелограмма сил) на составляющие Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №24 - открытая онлайн библиотека и Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №25 - открытая онлайн библиотека (не обязательно параллельно координатным осям), так, чтобы плечи этих составляющих определялись легче, чем плечо силы Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №23 - открытая онлайн библиотека . После этого воспользоваться теоремой Вариньона в алгебраической форме:

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №27 - открытая онлайн библиотека .

Пример C1. Жесткая пластина ABCD (рис. C1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №28 - открытая онлайн библиотека Дано: F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, g = 75°, М = 50 кН × м, b =30°, l= 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение

1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №23 - открытая онлайн библиотека , пару сил с моментом М, натяжение троса Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №30 - открытая онлайн библиотека (по модулю Т = Р) и реакции связей Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №31 - открытая онлайн библиотека (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №23 - открытая онлайн библиотека относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №23 - открытая онлайн библиотека на составляющие Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №34 - открытая онлайн библиотека и учтем, что Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №35 - открытая онлайн библиотека . Получим

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №36 - открытая онлайн библиотека (1)

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №37 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №38 - открытая онлайн библиотека (2)

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №39 - открытая онлайн библиотека (3)

Начинаем с уравнения (3), так как там одна неизвестная Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №40 - открытая онлайн библиотека :

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №41 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №42 - открытая онлайн библиотека кН.

Подставляем Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №40 - открытая онлайн библиотека в уравнение (1):

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №44 - открытая онлайн библиотека кН.

Подставляем Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №40 - открытая онлайн библиотека в уравнение (2):

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №46 - открытая онлайн библиотека кН.

Проверка. Составим, например, уравнение Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №47 - открытая онлайн библиотека (или уравнение моментов относительно любой другой точки (кроме А). Если задача решена верно, то эта сумма моментов должна быть равна нулю.

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №48 - открытая онлайн библиотека

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №49 - открытая онлайн библиотека

Ответ: ХА = -8,5 кН, YA = -23,3 кН, RB = 7,3 кН. Знаки указывают, что силыЗадания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №50 - открытая онлайн библиотекаи Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №51 - открытая онлайн библиотеканаправлены противоположно показанным на рис. C1.

КИНЕМАТИКА

Задание К1

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f1 (t), у = f2 (t), где х и у выражены в сантиметрах, t -в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1, = 1с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость х = f1, (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f2 (t) дана в табл. К1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задаче C1 номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 - по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №52 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №53 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №54 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №55 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №56 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №57 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №58 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №59 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №60 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №61 - открытая онлайн библиотека

Таблица К1

Номер условия y = f2(t)
Рис. 0-2 Рис.3-6 Рис.7-9
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №62 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №63 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №64 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №65 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №66 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №67 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №68 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №69 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №70 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №71 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №72 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №73 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №74 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №75 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №76 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №77 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №78 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №79 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №80 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №81 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №82 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №83 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №84 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №85 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №86 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №87 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №88 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №89 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №90 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №91 - открытая онлайн библиотека

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2a= 1 - 2sin2a = 2 cos2a- 1; sin 2a = 2sin a×cos a.

Пример К1.

Уравнения движения точки в плоскости имеют вид:

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №92 - открытая онлайн библиотека , (1)

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №93 - открытая онлайн библиотека , (2)

где время t задано в секундах, координаты x, y - в метрах.

Найти:

1. уравнение траектории точки;

2. положение точки на траектории при Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №94 - открытая онлайн библиотека (начальное положение) и при Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №95 - открытая онлайн библиотека c ;

3. скорость Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №96 - открытая онлайн библиотека точки;

4. ускорение Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №97 - открытая онлайн библиотека точки;

5. касательное Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №98 - открытая онлайн библиотека , нормальное Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №99 - открытая онлайн библиотека ускорения точки и радиус кривизны траектории Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №100 - открытая онлайн библиотека .

В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение

Движение точки задано координатным способом.

1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t - время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №101 - открытая онлайн библиотека .

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №102 - открытая онлайн библиотека , найдем :

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №103 - открытая онлайн библиотека

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб длин и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рис. 1 имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными. Данное замечание относится и ко всем последующим задачам пособия.

2. Находим положение точки при Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №104 - открытая онлайн библиотека , подставляя это значение t в (1) и (2):

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №105 - открытая онлайн библиотека

3. Находим положение точки при Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №106 - открытая онлайн библиотека , подставляя это значение t в (1) и (2):

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №107 - открытая онлайн библиотека

Указываем на рисунке точки Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №108 - открытая онлайн библиотека и Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №109 - открытая онлайн библиотека , учитывая масштаб координат.

4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) - уравнения движения точки - находим

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №110 - открытая онлайн библиотека , (3)

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №111 - открытая онлайн библиотека . (4)

Модуль скорости Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №112 - открытая онлайн библиотека . Подставляя сюда (3), (4), получим

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №113 - открытая онлайн библиотека . (5)

При Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №114 - открытая онлайн библиотека с : Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №115 - открытая онлайн библиотека , Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №116 - открытая онлайн библиотека ,

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №117 - открытая онлайн библиотека . (6)

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №118 - открытая онлайн библиотека Рис. 1 Выберем масштаб для скоростей (рис.1), проведем в точке M1 линии парал-лельные осям x и y, и на этих линиях в масштабе скоростей отложим отрезки: 5,44 по оси x и - 4,71 по оси y, что соответствует величи-нам и знакам найденных проекций скорости. На этих составляющих строим пара-ллелограмм (прямоуголь-ник), диагональ которого по величине и направлению соответствует вектору Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №119 - открытая онлайн библиотека . Проверьте следующее: длина построенного вектора должна получиться равной найденному значению Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №120 - открытая онлайн библиотека

(с учетом масштаба скоростей). Вектор Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №119 - открытая онлайн библиотека направлен по касательной к траектории в точке Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №109 - открытая онлайн библиотека и показывает направление движения точки по траектории.

Удобно сейчас построить в точке Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №109 - открытая онлайн библиотека естественные оси: касательную Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №124 - открытая онлайн библиотека и главную нормаль Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №125 - открытая онлайн библиотека (они потребуются позже). Касательную Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №124 - открытая онлайн библиотека проводим вдоль Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №119 - открытая онлайн библиотека ; главную нормаль Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №125 - открытая онлайн библиотека проводим перпендикулярно Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №124 - открытая онлайн библиотека в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №109 - открытая онлайн библиотека (в сторону вогнутости траектории).

5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №131 - открытая онлайн библиотека , (7)

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №132 - открытая онлайн библиотека . (8)

Модуль ускорения Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №133 - открытая онлайн библиотека . Из (7), (8) получим

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №134 - открытая онлайн библиотека . (9)

Подставляя в (7) - (9) Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №135 - открытая онлайн библиотека , найдем

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №136 - открытая онлайн библиотека , Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №137 - открытая онлайн библиотека ,

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №138 - открытая онлайн библиотека . (10)

В точке Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №109 - открытая онлайн библиотека строим в масштабе проекции ускорений Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №140 - открытая онлайн библиотека , учитывая их величины и знаки, а затем строим вектор ускорения Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №141 - открытая онлайн библиотека . Построив Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №141 - открытая онлайн библиотека , следует проверить, получилось ли на рисунке Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №143 - открытая онлайн библиотека (c учетом масштаба ускорений), и направлен ли вектор Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №141 - открытая онлайн библиотека в сторону вогнутости траектории (вектор Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №141 - открытая онлайн библиотека проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).

6. Находим касательное ускорение Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №98 - открытая онлайн библиотека , характеризующее изменение модуля Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №96 - открытая онлайн библиотека .

Учитывая (5), получим Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №148 - открытая онлайн библиотека .

При Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №149 - открытая онлайн библиотека

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №150 - открытая онлайн библиотека . (11)

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №151 - открытая онлайн библиотека Получим

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №152 - открытая онлайн библиотека , откуда следует

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №153 - открытая онлайн библиотека

Нормальную составляющую Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №154 - открытая онлайн библиотека ускорения, характеризующую изменение направления Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №96 - открытая онлайн библиотека , можно найти по формуле

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №156 - открытая онлайн библиотека , (12)

если Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №100 - открытая онлайн библиотека - радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №158 - открытая онлайн библиотека и, следовательно, Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №159 - открытая онлайн библиотека ) по формуле

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №160 - открытая онлайн библиотека . (13)

Так как в данной задаче радиус Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №100 - открытая онлайн библиотека заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №162 - открытая онлайн библиотека . (14)

Вернемся к рис. 1. Ранее на этом рисунке вектор Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №141 - открытая онлайн библиотека был построен по составляющим Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №164 - открытая онлайн библиотека , Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №165 - открытая онлайн библиотека . С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №124 - открытая онлайн библиотека и Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №125 - открытая онлайн библиотека (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №168 - открытая онлайн библиотека и Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №169 - открытая онлайн библиотека . Полезно провести проверку: с учетом масштаба ускорений определить по рисунку величины Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №170 - открытая онлайн библиотека , Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №171 - открытая онлайн библиотека и убедиться, что они совпадают с (11), (14).

Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №119 - открытая онлайн библиотека и Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №173 - открытая онлайн библиотека совпадают (рис. 1).

Найдем радиус кривизны Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №100 - открытая онлайн библиотека , используя (12), откуда следует, что Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №175 - открытая онлайн библиотека . Подставляя в последнее соотношение Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №176 - открытая онлайн библиотека и Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №171 - открытая онлайн библиотека из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №109 - открытая онлайн библиотека : Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №179 - открытая онлайн библиотека . Отложим на рисунке от точки Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №109 - открытая онлайн библиотека по оси Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №125 - открытая онлайн библиотека отрезок Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №182 - открытая онлайн библиотека длины Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №183 - открытая онлайн библиотека (в масштабе длин); полученная точка Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №184 - открытая онлайн библиотека есть центр кривизны траектории в точке Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №109 - открытая онлайн библиотека .

Объединяя полученные результаты, запишем ответ:

1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №186 - открытая онлайн библиотека ;

2. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №187 - открытая онлайн библиотека

3. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №188 - открытая онлайн библиотека

4. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №189 - открытая онлайн библиотека ;

5. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №190 - открытая онлайн библиотека ;

6. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №191 - открытая онлайн библиотека ; Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №192 - открытая онлайн библиотека ;

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №193 - открытая онлайн библиотека .

Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах.

Если траектория точки - прямая линия, то Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №194 - открытая онлайн библиотека и, следовательно, Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №195 - открытая онлайн библиотека . Найденное по величине и направлению ускорение Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №97 - открытая онлайн библиотека равно ускорению Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №98 - открытая онлайн библиотека .

Если траектория точки - окружность, то Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №198 - открытая онлайн библиотека , где R - радиус окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки найдена, то Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №199 - открытая онлайн библиотека . Вектор Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №99 - открытая онлайн библиотека направлен к центру окружности. Касательное ускорение Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №201 - открытая онлайн библиотека , полное ускорение Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №202 - открытая онлайн библиотека .

ДИНАМИКА

Задание Д3

Механическая система состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1), цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней R4 = 0,3 м, r4 = 0,3 м, R5 = 0,3 м, r5 = 0,3 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д3.0 – Д3.9, табл. Д3). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №203 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №204 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №205 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №206 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №207 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №208 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №209 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №210 - открытая онлайн библиотека
Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №211 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №212 - открытая онлайн библиотека

Под действием силы F = f (s), зависящей от перемещения точки при­ложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные соответственно M4 и М5.

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №37 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №214 - открытая онлайн библиотека равно s,. Искомая величина указана в столбце "Найти" таблицы, где обозначено: Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №215 - открытая онлайн библиотека - скорость груза 1, Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №216 - открытая онлайн библиотека - скорость центра масс катка 3, Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №217 - открытая онлайн библиотека - угловая скорость тела 4 и т.д.

Таблица Д3

Номер усло-вия m1, кг m2, кг m3, кг m4, кг m5, кг M4, Н×м M5, Н×м F = f(s) s1, м Найти
0,8 50(2+3s) 1,0 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №215 - открытая онлайн библиотека
0,6 20(5+2s) 1,2 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №219 - открытая онлайн библиотека
0,4 80(3+4s) 0,8 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №216 - открытая онлайн библиотека
0,3 40(4+5s) 0,6 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №221 - открытая онлайн библиотека
0,6 30(3+2s) 1,4 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №217 - открытая онлайн библиотека
0,9 40(3+5s) 1,6 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №215 - открытая онлайн библиотека
0,8 60(2+5s) 1,0 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №217 - открытая онлайн библиотека
0,6 30(8+3s) 0,8 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №225 - открытая онлайн библиотека
0,3 40(2+5s) 1,6 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №216 - открытая онлайн библиотека
0,4 50(3+2s) 1,4 Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №221 - открытая онлайн библиотека

Указания. Задача ДЗ - на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел: эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении кинетической энергии катка, совершающего плоское движение, для установления зависимости между его угловой скоростью и скоростью его центра масс воспользоваться понятием о мгновенном центре скоростей (кинематика). При определении работы все перемещения следует выразить через заданное перемещение s1, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Когда по данным таблицы m2 = 0, груз 2 на чертеже не изображать; шкивы 4 и 5 всегда входят в систему.

Пример ДЗ. Механическая система (рис. ДЗ) состоит из сплошного цилиндрического катка l, ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней R2 и r2 (масса шкива равномерно распределена по его внешнему ободу) и груза 3 (коэффициент трения груза о плоскость равен f ). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 2.

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №228 - открытая онлайн библиотека Под действием силы F = f (s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движения из состояния покоя. При движении на шкив 2 действует постоянный момент М2 сил сопротивления. Дано: m1 = 4 кг, m2 = 10кг, m3 = 8 кг, R2 = 0,2 м, r2 = 0,1м, f = 0,2. М2 = 0,6 Н × м, F = 2(1+2s) Н, s1 = 2м. Определить: скорость Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №229 - открытая онлайн библиотека центра масс катка, когда s = s1.

Решение. 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1 2, 3, соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №230 - открытая онлайн библиотека , момент сопротивления М2 реакции Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №231 - открытая онлайн библиотека и силы трения Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №232 - открытая онлайн библиотека и Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №233 - открытая онлайн библиотека .

Для определения Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №234 - открытая онлайн библиотека воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №235 - открытая онлайн библиотека (1)

2. Определяем Т0 и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т0 = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №236 - открытая онлайн библиотека (2)

Учитывая, что тело 1 совершает плоское движение, тело 3 движется поступательно, а тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, получим

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №237 - открытая онлайн библиотека (3)

Все входящие сюда скорости следует выразить через искомую Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №234 - открытая онлайн библиотека . Приняв во внимание, что точка K1 - мгновенный центр скоростей катка 1, и обозначив радиус катка через r1, получим

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №239 - открытая онлайн библиотека (4)

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №240 - открытая онлайн библиотека (5)

Подставив все величины (4) и (5) в равенство (3), а затем используя равенство (2) получим окончательно:

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №241 - открытая онлайн библиотека (6)

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда точка С1 пройдет путь s1. Одновременно все перемещения следует выразить через заданную величину s1, для чего учтем, что здесь зависимость между перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями в равенствах (4), т.е. Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №242 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №243 - открытая онлайн библиотека . В результате получим:

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №244 - открытая онлайн библиотека

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №245 - открытая онлайн библиотека

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №246 - открытая онлайн библиотека

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №247 - открытая онлайн библиотека

Работа остальных сил равна нулю, так как точка K1, где приложены силы Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №248 - открытая онлайн библиотека и Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №232 - открытая онлайн библиотека , является мгновенным центром скоростей, точка O, где приложены Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №250 - открытая онлайн библиотека , и Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №251 - открытая онлайн библиотека , неподвижна, а реакция Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №252 - открытая онлайн библиотека перпендикулярна перемещению груза 3. Тогда окончательно

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №253 - открытая онлайн библиотека (7)

4. Подставив выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что T0 = 0, получим

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №37 - открытая онлайн библиотека Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №255 - открытая онлайн библиотека (8)

При числовых значениях, которые имеют заданные величины, равенство (8) дает

Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №256 - открытая онлайн библиотека

Отсюда находим искомую скорость.

Ответ: Задания на контрольную работу по разделу «Теоретическая механика» дисциплины Механика - №257 - открытая онлайн библиотека = 1.53м/с.