Основы метода конечных элементов, этапы решения, матричная форма записи уравнений теории упругости. Функции формы конечного элемента

Сущность метода. Любую напрерывную функцию можно апроксимировать моделью, состоящую из отдельных элементов или участков. На каждом из элементов исследуемая величина апроксимируется кусочно-непрерывной функцией, которая строится в конечном числе точек элемента. В общем случае непрерывная величина считается неизвестной, необходимо определить ее значение во внутренних точках области.

Этапы решения.

1) область разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Они имеют общие узловые точки и в совокупности апроксимируют форму области.

2) В области фиксируется конечное число узлов, часть из них общие. Определяются координаты этих точек.

3) Значение непрерывной величины в узлах принимается известным, при расчете они уточняются в соответствии с наложенными граничными условиями в зависимости от задачи.

4) Используя значения функции в узлах, определяют значение функции в любой точке.

Матричная форма записи уравнений теории упругости.

Перемещение:

Закон Гука:

Начальная деформация:

Уравнения Коши:

матрица деференцирования

Функции формы конечного элемента.

Рассмотрим стержневой элемент длиной , поперечным сечением и модулем Юнга . Введем две функции , , где относительная координата точки элемента в локальной СК: .

Смещение любой точки в пределах элемента .

Линейная функция называется функцией формы стержневого элемента. Она апроксимирует перемещения в пределах элемента.