Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции

Крутильные колебания. Момент инерции.

(с компьютерным интерфейсом)

Цель работы – изучение параметров зтухающих крутильных колебаний, измерение моментов инерции различных тел.

Общие сведения

Рассмотрим тело, закрепленное на оси спиральной пружины. Если повернуть тело на некоторый угол j, то вследствие закручивания пружины возникнет упругая сила. Эта сила создает крутящий момент М, возвращающий систему в исходное состояние, и возникнут крутильные колебания.

Крутящий момент М пропорционален углу поворота j

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №1 - открытая онлайн библиотека (1)

где D - модуль кручения, зависящий от механических свойств пружины.

Если пренебречь силами сопротивления, то основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №2 - открытая онлайн библиотека (2)

где J – момент инерции, e - угловое ускорение.

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №3 - открытая онлайн библиотека (3)

Из уравнений (1) и (2) и с учетом (3) следует

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №4 - открытая онлайн библиотека (4)

Это уравнение можно переписать в виде

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №5 - открытая онлайн библиотека (5)

Введем обозначения

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №6 - открытая онлайн библиотека

Тогда уравнение (5) примет вид

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №7 - открытая онлайн библиотека (6)

Это дифференциальное уравнение крутильных колебаний. Решением этого уравнения являются функции синуса ил косинуса (гармонические функции)

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №8 - открытая онлайн библиотека

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №9 - открытая онлайн библиотека

где jо – максимальное (амплитудное) значение угла поворота, wо – круговая (циклическая) частота, a - начальная фаза.

Таким образом, крутильные колебания являются гармоническими колебаниями.

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №10 - открытая онлайн библиотека Частота и период этих колебаний равны соответственно

 
  Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №11 - открытая онлайн библиотека

Если в системе имеются силы трения, то амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, то есть колебания будут затухающими.

За счет сил трения возникает тормозящий момент

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №12 - открытая онлайн библиотека

где r – коэффициент сопротивления, Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №13 - открытая онлайн библиотека - угловая скорость.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения запишется так

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №14 - открытая онлайн библиотека Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №15 - открытая онлайн библиотека

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №16 - открытая онлайн библиотека

Введя обозначения

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №17 - открытая онлайн библиотека Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №18 - открытая онлайн библиотека

получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №19 - открытая онлайн библиотека (9)

Решением этого уравнения является следующая функция

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №20 - открытая онлайн библиотека

b - коэффициент затухания

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №21 - открытая онлайн библиотека - амплитуда затухающих колебаний.

Она уменьшается с течением времени.

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №22 - открытая онлайн библиотека частота затухающих колебаний

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №23 - открытая онлайн библиотека период затухающих колебаний

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №24 - открытая онлайн библиотека Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них значения смещения, скорости, ускорения не повторяются через период. Так что о периоде Т можно говорить лишь условно, как о времени, через которое система проходит через положение равновесия.

Степень затухания характеризуется несколькими величинами – коэффициентом затухания Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №25 - открытая онлайн библиотека , логарифмическим декрементом затухания Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №26 - открытая онлайн библиотека , временем релаксации Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №27 - открытая онлайн библиотека .

Логарифм отношения двух последовательных значений амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное периоду T , называется логарифмическим декрементом затухания.

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №28 - открытая онлайн библиотека (10)

l=bT (11)

Время Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №27 - открытая онлайн библиотека , в течение которого амплитуда убывает в e раз, называется временем релаксации

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №30 - открытая онлайн библиотека

bt=1 (12)

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №31 - открытая онлайн библиотека - коэффициент затухания есть физическая величина обратная времени релаксации.

Понятие о моменте инерции тел.

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №32 - открытая онлайн библиотека Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно некоторой оси ОО разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек (рис.2). Тогда момент инерции такой отдельной элементарной массы

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №33 - открытая онлайн библиотека

где Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №34 - открытая онлайн библиотека - расстояние от элемента объема Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №35 - открытая онлайн библиотека до оси вращения, r - плотность вещества.

Момент инерции всего тела

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №36 - открытая онлайн библиотека ,

Таким образом, момент инерции различных тел можно найти с помощью интегрирования.

Рассмотрим результаты расчета для некоторых частных случаев.

1. Момент инерции материальной точки массой m , находящейся на расстоянии R от оси вращения

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №37 - открытая онлайн библиотека (13)

2. Момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Радиус диска R, его масса m.

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №38 - открытая онлайн библиотека (14)

.Эта же формула справедлива для момента инерции сплошного цилиндра относительно оси совпадающей с осью цилиндра..

3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 относительно оси , совпадающей с осью цилиндра.

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №39 - открытая онлайн библиотека (15)

4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси проходящей через его центр.

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №40 - открытая онлайн библиотека (16)

5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину. Длина стержня l,

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №41 - открытая онлайн библиотека (17)

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу, и часто он определяется экспериментально с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, методом крутильных колебаний и др.

В данной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний. Из формулы (8) можно получить следующую формулу для вычисления момента инерции

Понятие о моменте инерции тел. Крутильные колебания. Момент инерции - №42 - открытая онлайн библиотека (18)