Матрица. Линейные операции над матрицами, их свойства

Матрица: =(aij)mxn=Amxn

Матрица размера m на n.

m-число строк. Aij-элементы матрицы, ϵR

n-число столбцов. I=1,n j=1,m

При m=n матрица называется квадратной. У квадратной матрицы существует оперделитель.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Единичной матрицей называется- квадратная матрица E(eij)nxm, где еij=1 при i=j и eij=0 при i≠j.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например, или

Произведением матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или

Св-ва линейных операций:

1)A+B=B+A

2)

3)(A+B)+C=A+(B+C)

4)

5)

2)Определитель: определение и основные свойства.

Определить n-го порядка где (nϵR) натуральное число, задаётся таблицей вида (В КВАДРАТНЫХ СКОБКАХ!)

Определителем второго порядка, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель порядка (n-1) получающейся из исходного вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется Aij=(-1)^i+jMij

Определитель n-го равен сумме произведений элементов любой строки(столбца) и их алгебраический дополнений.

Свойства определителей

1) Определитель не изменится если все его строки поменять на столбцы с теми же номерами.

2)При перестановке 2-х параллельных рядов определитель меняет знак.

3)Определитель имеющий нулевой ряд равен нулю.

4)Определитель с 2-мя пропорциональными рядами равен нулю.

5)Общий множитель элементов ряда можно выносить за знак определителя.

6)Величина определителя не изменится, если к элементам какого либо ряда прибавить элементы параллельного ряда умноженного на некоторое число .

7)Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя и алгебраических дополнений параллельного ряда равна нулю.

8)Пусть Δ1n и Δ2n определителей различаются элементами только 1 ряда, тогда их сумма равна определителю у которого указанный ряд состоит из сумм соответствующих элементов этих определителей.