Матричные уравнения узловых потенциалов

Уравнения узловых потенциалов можно записать в матричной форме:

Матричные уравнения узловых потенциалов - №1 - открытая онлайн библиотека ,

где Матричные уравнения узловых потенциалов - №2 - открытая онлайн библиотека - квадратная матрица узловых проводимостей;

Матричные уравнения узловых потенциалов - №3 - открытая онлайн библиотека - матрица-столбец потенциалов узлов;

Матричные уравнения узловых потенциалов - №4 - открытая онлайн библиотека - матрица-столбец узловых токов.

Узловой ток i-го узла равен алгебраической сумме тока источника тока и токов, определяемых ЭДС источников напряжений Матричные уравнения узловых потенциалов - №5 - открытая онлайн библиотека .

Уравнение для определения потенциалов узлов имеет вид

Матричные уравнения узловых потенциалов - №6 - открытая онлайн библиотека ,

где Матричные уравнения узловых потенциалов - №7 - открытая онлайн библиотека - матрица, обратная матрице Матричные уравнения узловых потенциалов - №8 - открытая онлайн библиотека .

Матрицу узловых проводимостей для соответствующей схемы, можно составить по формуле

Матричные уравнения узловых потенциалов - №9 - открытая онлайн библиотека ,

где Матричные уравнения узловых потенциалов - №10 - открытая онлайн библиотека - матрица соединений;

Матричные уравнения узловых потенциалов - №11 - открытая онлайн библиотека - диагональная матрица проводимостей ветвей;

Матричные уравнения узловых потенциалов - №12 - открытая онлайн библиотека - транспортированная матрица соединений.

Рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2.31.

Матричные уравнения узловых потенциалов - №13 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.31 – Электрическая цепь постоянного тока

Граф электрической цепи приведен на рисунке 2.32.

Матричные уравнения узловых потенциалов - №14 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.32 – Граф цепи постоянного тока

Так как у приведенной схемы четыре узла, то для нахождения токов в ветвях методом узловых потенциалов, необходимо составить три независимых уравнения. Поэтому, матрица соединения узловых проводимостей ветвей состоит из трех строк и шести столбцов:

Матричные уравнения узловых потенциалов - №15 - открытая онлайн библиотека .

Диагональная матрица проводимостей Матричные уравнения узловых потенциалов - №16 - открытая онлайн библиотека .

Произведение матриц Матричные уравнения узловых потенциалов - №10 - открытая онлайн библиотека и Матричные уравнения узловых потенциалов - №11 - открытая онлайн библиотека равно:

Матричные уравнения узловых потенциалов - №19 - открытая онлайн библиотека .

Матрица узловых проводимостей получается после перемножения матриц Матричные уравнения узловых потенциалов - №20 - открытая онлайн библиотека и Матричные уравнения узловых потенциалов - №12 - открытая онлайн библиотека :

Матричные уравнения узловых потенциалов - №22 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №23 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №24 - открытая онлайн библиотека

Матричные уравнения узловых потенциалов - №25 - открытая онлайн библиотека .

Матрица-столбец потенциалов узлов Матричные уравнения узловых потенциалов - №26 - открытая онлайн библиотека .

Матрица-столбец узловых токов

Матричные уравнения узловых потенциалов - №27 - открытая онлайн библиотека .

Если матрицу Матричные уравнения узловых потенциалов - №10 - открытая онлайн библиотека дополнить четвертой строкой, соответствующей узлу 4, то получится неопределенная матрица узловых проводимостей цепи, для которой сумма элементов по всем четырем строкам и четырем столбцам равна нулю. Определитель такой матрицы равен нулю. После вычеркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, получается квадратная матрица третьего порядка.

Определитель неопределенной матрицы симметричен относительно главной диагонали. Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается определенная квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Определитель такой матрицы не имеет симметрии относительно главной диагонали.

Если принять равным нулю потенциал того же узла схемы, которой соответствует вычеркнутой строке матрицы Матричные уравнения узловых потенциалов - №10 - открытая онлайн библиотека , то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле Матричные уравнения узловых потенциалов - №30 - открытая онлайн библиотека , где положительное направление напряжения Матричные уравнения узловых потенциалов - №31 - открытая онлайн библиотека совпадает с положительным направлением тока в ветви. Это получается из формул для напряжения каждой ветви. Например, для схемы (рис. 2.31)

Матричные уравнения узловых потенциалов - №32 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №33 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №34 - открытая онлайн библиотека .

Из этого выражения следует: Матричные уравнения узловых потенциалов - №35 - открытая онлайн библиотека , Матричные уравнения узловых потенциалов - №36 - открытая онлайн библиотека , Матричные уравнения узловых потенциалов - №37 - открытая онлайн библиотека , Матричные уравнения узловых потенциалов - №38 - открытая онлайн библиотека , Матричные уравнения узловых потенциалов - №39 - открытая онлайн библиотека , Матричные уравнения узловых потенциалов - №40 - открытая онлайн библиотека .

Пример 2.13.Решить задачу, приведенную в примере 2.4 с помощью матричных уравнений узловых потенциалов.

Матрица соединений А состоит из пяти строк и десяти столбцов:

Матричные уравнения узловых потенциалов - №41 - открытая онлайн библиотека .

Диагональная матрица проводимостей

Матричные уравнения узловых потенциалов - №42 - открытая онлайн библиотека .

Произведение матриц А и Матричные уравнения узловых потенциалов - №11 - открытая онлайн библиотека равно:

Матричные уравнения узловых потенциалов - №44 - открытая онлайн библиотека

Квадратная матрица узловых проводимостей Матричные уравнения узловых потенциалов - №22 - открытая онлайн библиотека

Матричные уравнения узловых потенциалов - №46 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №47 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №48 - открытая онлайн библиотека .

Матрица-столбец потенциалов узлов

Матричные уравнения узловых потенциалов - №49 - открытая онлайн библиотека .

Матрица-столбец узловых токов

Матричные уравнения узловых потенциалов - №50 - открытая онлайн библиотека

Матричные уравнения узловых потенциалов - №51 - открытая онлайн библиотека .

Матрица-столбец ЭДС

Матричные уравнения узловых потенциалов - №52 - открытая онлайн библиотека

Матричные уравнения узловых потенциалов - №53 - открытая онлайн библиотека .

Определяем матрицу потенциалов узлов схемы

Матричные уравнения узловых потенциалов - №54 - открытая онлайн библиотека

Матричные уравнения узловых потенциалов - №55 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №56 - открытая онлайн библиотека .

Узловые потенциалы токи соответственно равны

Матричные уравнения узловых потенциалов - №57 - открытая онлайн библиотека В, Матричные уравнения узловых потенциалов - №58 - открытая онлайн библиотека В, Матричные уравнения узловых потенциалов - №59 - открытая онлайн библиотека В,

Матричные уравнения узловых потенциалов - №60 - открытая онлайн библиотека В, Матричные уравнения узловых потенциалов - №61 - открытая онлайн библиотека В.

Матрица-столбец напряжений ветвей U определяем через матрицу потенциалов узлов схемы Матричные уравнения узловых потенциалов - №3 - открытая онлайн библиотека :

Матричные уравнения узловых потенциалов - №63 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №64 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №65 - открытая онлайн библиотека

Матрица токов ветвей Матричные уравнения узловых потенциалов - №66 - открытая онлайн библиотека

Матричные уравнения узловых потенциалов - №67 - открытая онлайн библиотека

Матричные уравнения узловых потенциалов - №68 - открытая онлайн библиотека Матричные уравнения узловых потенциалов - №69 - открытая онлайн библиотека = Матричные уравнения узловых потенциалов - №70 - открытая онлайн библиотека .

Токи в ветвях соответственно равны

Матричные уравнения узловых потенциалов - №71 - открытая онлайн библиотека А, Матричные уравнения узловых потенциалов - №72 - открытая онлайн библиотека А, Матричные уравнения узловых потенциалов - №73 - открытая онлайн библиотека А, Матричные уравнения узловых потенциалов - №74 - открытая онлайн библиотека А, Матричные уравнения узловых потенциалов - №75 - открытая онлайн библиотека А,

Матричные уравнения узловых потенциалов - №76 - открытая онлайн библиотека А, Матричные уравнения узловых потенциалов - №77 - открытая онлайн библиотека А, Матричные уравнения узловых потенциалов - №78 - открытая онлайн библиотека А, Матричные уравнения узловых потенциалов - №79 - открытая онлайн библиотека А, Матричные уравнения узловых потенциалов - №80 - открытая онлайн библиотека А.

Токи, рассчитанные в примерах 2.4 и 2.13, совпадают.