Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Если потребуется установить связь между двумя признаками, значения которых в генеральной совокупности распределены не по нормальному закону, т. е. предположение о том, что двумерная выборка (xi и yi) получена из двумерной нормальной генеральной совокупности, не принимается, то можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции Спирмена ( Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №1 - открытая онлайн библиотека ):

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №2 - открытая онлайн библиотека

где dx и dy – ранги показателей xi и yi; n – число коррелируемых пар.

Коэффициент ранговой корреляции также имеет пределы 1 и –1. Если ранги одинаковы для всех значений xi и yi, то все разности рангов (dx - dy) = 0 и =1. Если ранги xi и yi расположены в обратном порядке, то Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №1 - открытая онлайн библиотека = -1. Таким образом, коэффициент ранговой корреляции является мерой совпадения рангов значений xi и yi .

Когда ранги всех значений xi и yi строго совпадают или расположены в обратном порядке, между случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость, причем эта зависимость не обязательно линейная, как в случае с коэффициентом линейной корреляции Браве-Пирсона, а может быть любой монотонной зависимостью (т. е. постоянно возрастающей или постоянно убывающей зависимостью). Если зависимость монотонно возрастающая, то ранги значений xi и yi совпадают и Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №1 - открытая онлайн библиотека = 1; если зависимость монотонно убывающая, то ранги обратны и Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №1 - открытая онлайн библиотека = –1. Следовательно, коэффициент ранговой корреляции является мерой любой монотонной зависимости между случайными величинами Х и Y.

Из формулы видно, что для вычисления Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №1 - открытая онлайн библиотека необходимо сначала проставить ранги (dx и dy) показателей xi и yi, найти разности рангов (dx - dy) для каждой пары показателей и квадраты этих разностей (dx - dy)2 . Зная эти значения, находятся суммы Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №7 - открытая онлайн библиотека , учитывая, что Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №8 - открытая онлайн библиотека всегда равна нулю. Затем, вычислив значение Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №1 - открытая онлайн библиотека , необходимо определить достоверность найденного коэффициента корреляции, сравнив его фактическое значение с табличным. Если Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №10 - открытая онлайн библиотека , то можно говорить о том, что между признаками наблюдается достоверная взаимосвязь. Если Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №11 - открытая онлайн библиотека , то между признаками наблюдается недостоверная корреляционная взаимосвязь.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется значительно проще, чем коэффициент корреляции Браве-Пирсона при одних и тех же исходных данных, поскольку при вычислении используются ранги, представляющие собой обычно целые числа.

Коэффициент ранговой корреляции целесообразно использовать в следующих случаях:

- если экспериментальные данные представляют собой точно измеренные значения признаков Х и Y и требуется быстро найти приближенную оценку коэффициента корреляции. Тогда даже в случае двумерного нормального распределения генеральной совокупности можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции вместо точного коэффициента корреляции Браве-Пирсона. Вычисления будут существенно проще, а точность оценки генерального параметра р с помощью коэффициента Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - №1 - открытая онлайн библиотека при больших объемах выборки составляет 91,2% по отношению к точности оценки по коэффициенту корреляций;

- когда значения xi и (или) yi заданы в порядковой шкале (например, оценки судей в баллах, места на соревнованиях, количественные градации качественных признаков), т. е. когда признаки не могут быть точно измерены, но их наблюдаемые значения могут быть расставлены в определенном порядке.