О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр

Напомним, что ОС МС получается из заданной СНС удалением лишних связей и их заменой неизвестными реакциями. Выясним, насколько мы свободны в выборе ОС, и как оценить качество нашего выбора.

Отметим, прежде всего, следующие моменты.

1. ОС выбирается не единственным способом, и более того, ее можно выбрать бесчисленным множеством способов. Так, для рамы на рис. 4.4, а в качестве ОС помимо уже рассмотренной на рис. 4.4, б могут быть выбраны системы, приведенные на рис. 4.4, в–д.

2. Главным и безусловным требованием, предъявляемым к ОС, является требование ее неподвижности, то есть в качестве ОС нельзя выбрать геометрически изменяемую систему (рис. 4.4, е) или мгновенно изменяемые системы (рис. 4.4, ж, з).

3. Надо стремиться к выбору рациональной основной системы, чтобы соответствующая ей система канонических уравнений:

d11 X1 + d12 X2 + d13 X3 + D1p0 = 0 ;

d21 X1 + d22 X2 + d23 X3 + D2p0 = 0 ; (4.3¢)

d31 X1 + d32 X2 + d33 X3 + D3p0 = 0 ,

имела как можно более простую структуру.

Для рамы на рис. 4.4, а такой будет ОС, приведенная на рис. 4.4, в. Нетрудно убедиться, что для нее d12 = d21 = 0, d23 = d32 = 0 и система трех линейных алгебраических уравнений (4.3) распадается на систему двух уравнений для определения X1 и X3 и одно независимое от них уравнение для определения X2:

d11 X1 + d13 X3 + D1p0 = 0;

d22 X2 + D2p0 = 0;

d31 X1 + d33 X3 + D3p0 = 0. О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №1 - открытая онлайн библиотека О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №1 - открытая онлайн библиотека О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №1 - открытая онлайн библиотека

Чтобы выяснить, почему данная ОС оказалась удобнее остальных и почему для нее d12 = d23 = 0 , введем понятие ортогональности функций или ортогональности эпюр.

Термин «ортогональность» является обобщением понятия «перпендикулярность» и в отношении двух векторов a и b из трехмерного пространства означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(a×b) = ½a½×½ b½ cos (a,b) = axbx + ayby + azbz = О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №4 - открытая онлайн библиотека = 0.

Аналогично, ортогональность двух векторов a и b из n-мерного пространства означает равенство нулю суммы произведений их одноименных компонент:

(a×b) = О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №5 - открытая онлайн библиотека = 0. (4.8)

Определение. Две функции f(x) и g(x) ортогональны на промежутке [0,l], если выполняется соотношение:

О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №6 - открытая онлайн библиотека f(x) × g(x) dx = 0. (4.9)

Классическим примером функций, ортогональных на промежутке [0,p], являютсяфункции sin x и cos x .

Понятие ортогональности функций является естественным обобщением ортогональности векторов в n-мерном пространстве.

В самом деле, разбивая промежуток [0,l] на n частей длиной Dx = l/n узловыми точками xi = i(Dx), где i = 0,1, … , (n – 1) и, переходя в (4.9) к численному интегрированию, получим:

О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №7 - открытая онлайн библиотека f(x) × g(x) dx = О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №8 - открытая онлайн библиотека О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №9 - открытая онлайн библиотека f (xi) g (xi) Dx.

Полагая в (4.8) ai = f (xi), bi = g (xi) Dx и переходя к пределу при Dx ® 0, а n ® ¥, мы и придем к (4.9).

Наконец, подставляя в (4.9) f(x) = `Mi0 и g(x) = `Mj0/EJ или g(x) =`Mp0/EJ и обобщая на случай n участков рамы, мы получим условие ортогональности этих эпюр в виде:

dij = (`Mi0 ´`Mj0) = Sò (`Mi0×`Mj0 /EJ)ds = 0, (4.10)

Dip0= (`Mi0 ´ Mp0)= Sò (`Mi0× Mp0/EJ)ds = 0. (4.11)

Из последних выражений можно получить признаки ортогональности эпюр.

1. Две эпюры с взаимно нулевыми участками ортогональны. Примером служат эпюры `M10 и`M20 на рис. 4.7, в, и 4.7, г, соответствующие выбранной на рис. 4.7, б основной системе, для которой d12 = 0.

2. Две эпюры ортогональны, если центр тяжести нелинейной эпюры лежит против нулевой точки линейной.

В качестве примера вернемся к раме на рис. 4.5, а - (рис. 4.8, а). Выберем вместо прежней ОС, показанной на рис. 4.5, б, новую ОС, в которой реакция X2

не перпендикулярна к X1, а направлена к ней под углом a (рис. 4.8, б). На стойке рамы центр тяжести эпюры`M10 (рис. 4.8, в) расположен против точки, где ордината эпюры`M20 равна нулю (рис. 4.8, г), поэтому по правилу Верещагина на этом участке их произведение равно нулю. На ригеле наоборот – эпюре`M20 соответствует нулевой участок эпюры`M10, поэтому в целом для выбранной основной системы d12 = 0.

О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №10 - открытая онлайн библиотека

Рис. 4.7

О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №11 - открытая онлайн библиотека

Рис. 4.8

3) Симметричная и обратносимметричная эпюры ортогональны. Для рамы на рис. 4.9, а при симметричной ОС (рис. 4.9, б) эпюра `M10 симметрична, а `M20 – обратносимметрична (рис. 4.9, г). При этом на левой половине рамы произведение эпюр`M10 и`M20 положительно, а на правой – равно по модулю тому же значению, но отрицательно, откуда и следует, что d12 = 0.

Аналогично у рамы на рис. 4.4, а для ОС на рис. 4.4, в будут симметричными`M10 и`M30, а обратносимметричной –`M20, поэтому d12 = d23 = 0.

О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр - №12 - открытая онлайн библиотека

Рис. 4.9

Примечания

1. Напомним, что обратносимметричная (в литературе также встречается термин кососимметричная) эпюра получается из симметричной, если сменить на противоположный знак для части эпюры, расположенной по одну сторону от оси симметрии.

Очевидно, что понятия «симметричная» и «обратносимметричная» эпюры являются обобщением понятий четной и нечетной функций в математике. Для первых f (x) = f (–x), для вторых f (x) = – f (–x).

2. О симметричных и обратносимметричных эпюрах можно говорить лишь в отношении систем, обладающих свойством симметрии. При этом симметричными должны быть не только геометрические очертания, но и жесткости элементов конструкции.

3. Для системы с одной лишней связью вопрос о рациональном выборе основной системы, с учетом примечания 2 из предыдущего параграфа, целиком определяется видом эпюры Mp0.