Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Практическая работа№1

Тема «Решение систем линейных уравнений»

Цель:сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Теоретическая часть:

Метод Крамера.

Метод Крамера применяют при решении систем, в которых число уравнений и количество неизвестных совпадают (m = n).

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №1 - открытая онлайн библиотека (1)

Если определитель Δ системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

x = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека , y = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №3 - открытая онлайн библиотека , где Δ = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №4 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №5 - открытая онлайн библиотека = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №6 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №7 - открытая онлайн библиотека = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №8 - открытая онлайн библиотека . (2)

Если Δ = 0, а хотя бы один определитель Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №9 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №10 - открытая онлайн библиотека не равен нулю, то система (1) не имеет решений (несовместна).

Если Δ = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №11 - открытая онлайн библиотека = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №12 - открытая онлайн библиотека = 0, то система имеет бесконечное множество решений (неопределенна).

Теперь рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №13 - открытая онлайн библиотека (3)

Системе (2) соответствует определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных x,y и z.

Δ = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №14 - открытая онлайн библиотека - определитель системы. По аналогии с (2) составим еще три определителя:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №15 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №16 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №17 - открытая онлайн библиотека = = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека , (4)

каждый из которых получен из определителя системы заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов системы.

Правило Крамера. Если определитель системы (3) отличен от нуля, то система имеет единственное решение:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №19 - открытая онлайн библиотека = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека , y = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №3 - открытая онлайн библиотека , z = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №22 - открытая онлайн библиотека (5)

Если же определитель системы Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №23 - открытая онлайн библиотека а хотя бы один из определителей Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №24 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №25 - открытая онлайн библиотека отличен от нуля, то система (3) не имеет решений, т. е несовместна.

Если Δ = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №11 - открытая онлайн библиотека = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №12 - открытая онлайн библиотека = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №25 - открытая онлайн библиотека = 0, то система имеет бесконечное множество решений (неопределенна)

Образец выполнения задания:

Пример 1. Решить систему уравнений методом Крамера.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №29 - открытая онлайн библиотека

Для этого нам потребуется вычислить четыре определителя: Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №30 - открытая онлайн библиотека и Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №31 - открытая онлайн библиотека

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №32 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека = 5 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №34 - открытая онлайн библиотека – ( Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека 3) Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №36 - открытая онлайн библиотека + 4 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №37 - открытая онлайн библиотека = 5∙( Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека 5) + 3∙( Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №39 - открытая онлайн библиотека ) + 4∙ ( Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека 1) = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека 25 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №42 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека 4= Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека 5. Определитель не равен нулю, следовательно, система имеет единственное решение.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №45 - открытая онлайн библиотека ( Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека 3) Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №47 - открытая онлайн библиотека + 4 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №48 - открытая онлайн библиотека =

= 11 ∙ ( Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека 5) + 3 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №50 - открытая онлайн библиотека + 4 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №51 - открытая онлайн библиотека = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №52 - открытая онлайн библиотека ;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №53 - открытая онлайн библиотека = 5 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №54 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №55 - открытая онлайн библиотека + 4 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №56 - открытая онлайн библиотека =

= 5 ∙ ( Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №57 - открытая онлайн библиотека

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №58 - открытая онлайн библиотека = 5 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №59 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №60 - открытая онлайн библиотека + 11 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №61 - открытая онлайн библиотека =

= 5 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №62 - открытая онлайн библиотека ( Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №63 - открытая онлайн библиотека + 3 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №64 - открытая онлайн библиотека

Тогда по формулам (5) получаем:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №65 - открытая онлайн библиотека = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №66 - открытая онлайн библиотека ; y = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №67 - открытая онлайн библиотека = 2; z = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №68 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: (1;2;3).

Пример 2.

. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №69 - открытая онлайн библиотека

Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №70 - открытая онлайн библиотека

и три вспомогательных определителя:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №71 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №72 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №73 - открытая онлайн библиотека .

Определитель Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №74 - открытая онлайн библиотека составлен из определителя Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №75 - открытая онлайн библиотека путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В определителях Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №76 - открытая онлайн библиотека и Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №77 - открытая онлайн библиотека соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №78 - открытая онлайн библиотека ;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №79 - открытая онлайн библиотека ;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №80 - открытая онлайн библиотека ;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №81 - открытая онлайн библиотека .

Неизвестные Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №82 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №83 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №84 - открытая онлайн библиотека находим по формулам

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №85 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №86 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №87 - открытая онлайн библиотека ;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №88 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №89 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №90 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №91 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №92 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №93 - открытая онлайн библиотека .

Пример3. Решить систему Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №94 - открытая онлайн библиотека методом Крамера.

Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов: Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №95 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №96 - открытая онлайн библиотека . Далее вычисляем определители:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №97 - открытая онлайн библиотека ;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №98 - открытая онлайн библиотека ;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №99 - открытая онлайн библиотека ;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №100 - открытая онлайн библиотека .

По теореме Крамера Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №101 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №102 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №103 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №104 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №92 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №106 - открытая онлайн библиотека .

Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №107 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №108 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №109 - открытая онлайн библиотека . Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.


Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Сведения из теории:

Метод Гаусса представляет собой специальный

алгоритм последовательного исключения неизвестных из уравнений

системы. В этом алгоритме обычно различают два этапа:

Первый этапназываетсяпрямой ход,

Второй этап –обратный ход.

Цель прямого хода метода Гаусса заключается в приведение матрицы системы к треугольному виду, когда в результате некоторых элементарных преобразований уравнений системы на главной диагонали матрицы системы будут располагаться ненулевые элементы, а все элементы ниже главной диагонали будут равны нулю. В результате наших преобразований должна получаться система, равносильная исходной системе линейных уравнений. Преобразования, которые позволяют свести исходную систему к треугольной, сохраняя равносильность, называются элементарными. Что будем понимать под элементарными преобразованиями? Или, говоря простым языком, что можно делать с уравнениями, входящими в систему, чтобы сохранить множество решений системы и не получить лишних корней?

Определение.Элементарными преобразованиями уравнений

системы называют следующие преобразования:

1) перестановка местами двух любых уравнений;

2) умножение обеих частей какого-либо уравнения на любое число, не равное нулю;

3) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей любого другого уравнения;

4) перестановка (перенумерация) неизвестных системы.

Примем без доказательства, что все перечисленные преобразования

приводят к системам, которые равносильны (эквивалентны) исходной системе линейных уравнений.

Удобно в методе Гаусса работать не с самой системой линейных уравнений, а с основой системы – расширенной матрицей. Эту матрицу обозначают символом

Ā= (A | B) , и она содержит две части – матрицу A системы и столбец B свободных членов.

Элементарным преобразованиям системы соответствуют следующие элементарные преобразования расширенной матрицы:

1) умножение произвольной строки на любое число, отличное от нуля;

2) прибавление к произвольной строке матрицы любой другой строки матрицы;

3) перестановка местами любых двух строк;

4) перестановка местами любых двух столбцов матрицы A системы.

Образец выполнения

Пример 1.Решить систему уравнений:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №110 - открытая онлайн библиотека

.Расширенная матрица системы будет иметь вид:

Ā= (A | B) = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №111 - открытая онлайн библиотека

Выполним прямой ход метода Гаусса.

Процесс приведения матрицы системы к треугольному виду состоит из нескольких шагов:

Первый шаг.

Надо элемент Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №112 - открытая онлайн библиотека сделать равным единице. Так как мы имеем право переставлять строки, умножать на число какую-либо строку и складывать ее с любой другой строкой, то вычтем из второй строки первую и поставим результат на место первой строки, соответственно первая строка станет второй, а третья останется на своем месте. Получим:

Ā~ Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №113 - открытая онлайн библиотека

Важно то, что между двумя матрицами нет знака равенства, – его заменяет следующий символ ~ эквивалентности двух систем (матрицы разные, а соответствующие им системы уравнений имеют одинаковые решения).

Второй шаг.

Необходимо сделать, чтобы равнялись нулю все элементы 1-го столбца, матрицы A , расположенные ниже элемента Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №112 - открытая онлайн библиотека .

Для этого надо ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на (-2). Аналогично, прибавить к третьей строке первую, умноженную на (-4).

Получим: Ā~ Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №115 - открытая онлайн библиотека

Третий шаг.

На третьем шаге получим нулевой элемент во втором столбце ниже элемента Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №116 - открытая онлайн библиотека .

Для этого вторую строку последней матрицы умножим на ( -7) , а третью строку на 5 и прибавим вторую

строку к третьей:

Ā~ Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №117 - открытая онлайн библиотека (*)

Прямой ход выполнен, в результате мы получили треугольную матрицу (*)

Теперь выполним обратный ход,для чего перейдем от матричной записи к соответствующей системе уравнений:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №118 - открытая онлайн библиотека

Из названия хода (обратный), понятно, что надо начинать с последнего уравнения, т.к. в нем содержится одна неизвестная z. Находим:

z = -2, теперь подставим значение z во второе уравнение, получим:

y = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №119 - открытая онлайн библиотека = 1,

Далее подставим значения y = 1 в первое уравнение:

x = 2y = 2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №120 - открытая онлайн библиотека

Система имеет единственное решение (2;1;-2).

Ответ: (2;1;-2).

Метод Гаусса – творческий метод. В этом его большое преимущество перед другими методами, т.к. указанное решение не является единственно возможным. И чем гибче мыслит человек, тем короче получается у него решение.

Пример 2.Решить систему уравнений:
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №121 - открытая онлайн библиотека

Ā = Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №122 - открытая онлайн библиотека

Получили несовместную систему, так как из последней строки расширенной матрицы получаем уравнение:

0 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №123 - открытая онлайн библиотека x + 0 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №124 - открытая онлайн библиотека + 0 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №125 - открытая онлайн библиотека , которое не имеет решения.

Матричный метод

Систему можно решить и матричным способом.

Рассмотрим систему вида

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №126 - открытая онлайн библиотека

(4)

Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №127 - открытая онлайн библиотека .

Из неизвестных Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №128 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №129 - открытая онлайн библиотека , Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №130 - открытая онлайн библиотека и свободных членов составим матрицы – столбцы

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №132 - открытая онлайн библиотека .

Тогда система (4) в матричной форме примет вид

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №133 - открытая онлайн библиотека . (5)

Чтобы найти матрицу Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №134 - открытая онлайн библиотека , умножим (7) на Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №135 - открытая онлайн библиотека слева.

A Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №136 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №137 - открытая онлайн библиотека

Пример 4.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №138 - открытая онлайн библиотека . Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №139 - открытая онлайн библиотека

Найти обратную матрицу Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №135 - открытая онлайн библиотека .

РЕШЕНИЕ.

1) Составляем и вычисляем определитель

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №141 - открытая онлайн библиотека .

Определитель вычислен по правилу треугольника.

2) Транспонируем матрицу. Получаем

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №142 - открытая онлайн библиотека .

3) Вычисляем алгебраические дополнения

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №143 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №144 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №145 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №146 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №147 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №148 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №149 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №150 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №151 - открытая онлайн библиотека .

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №152 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №153 - открытая онлайн библиотека

Вычисляем Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №154 - открытая онлайн библиотека . Вычеркиваем первую строку и второй столбец. Составляем определитель второго порядка из оставшихся элементов.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №152 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №156 - открытая онлайн библиотека .

Вычисляем Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №157 - открытая онлайн библиотека .

Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №158 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №159 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №160 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №161 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №162 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №163 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №164 - открытая онлайн библиотека .

Составим обратную матрицу

A Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №165 - открытая онлайн библиотека

A Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №166 - открытая онлайн библиотека

Сделаем проверку

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №167 - открытая онлайн библиотека

Пример 2.

Решить систему матричным способом

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №168 - открытая онлайн библиотека .

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №169 - открытая онлайн библиотека :

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №170 - открытая онлайн библиотека .

Из неизвестных составим матрицу – столбец:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №171 - открытая онлайн библиотека .

Из свободных членов составим матрицу – столбец:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №172 - открытая онлайн библиотека .

Тогда система запишется в виде

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №173 - открытая онлайн библиотека .

Получили матричное уравнение. Умножаем обе части этого уравнения на Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №174 - открытая онлайн библиотека слева. Получаем:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №175 - открытая онлайн библиотека .

Находим обратную матрицу:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №176 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №177 - открытая онлайн библиотека ;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №178 - открытая онлайн библиотека (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №179 - открытая онлайн библиотека (обратная матрица).

Умножая обратную матрицу на Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №180 - открытая онлайн библиотека , получаем матрицу Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №181 - открытая онлайн библиотека .

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №182 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда получаем ответ:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №183 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №184 - открытая онлайн библиотека ; Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №185 - открытая онлайн библиотека .

ЛИТЕРАТУРА

1. Дадаян А.А. Математика М.: ФОРУМ – ИНФРА-М,2011.552 с.

2. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2ч.: учеб. пособие / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 7-е изд., испр. – М. : Оникс : Мир и образование, 2009.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений – 6-е изд. стер.- М.: Высш. шк., 2003. – 495 с.

4. Апанасов П.Т. Орлов М.И. Сборник задач по математике: Учеб. пособие для техникумов – М: Высш. шк., 1987.- 303 с.