Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать

Практическая работа № 4

По дисциплине «Математика»

для студентов очно – заочного отделения

Тема: Вычисление предела функции в точке. Вычисление предела функции на бесконечности.

Раскрытие неопределенностей.

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать

неопределенности вида Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №1 - открытая онлайн библиотека

Перечень необходимых сведений из теории:

  1. Предел функции в точке по Коши и Гейне.
  2. Свойства предела.
  3. Односторон­ние пределы функции в точке. Теорема о существовании двустороннего предела функции в точке.
  4. Предел суммы, произведения и частного двух функций.
  5. Предел функции на бесконечности.
  6. Первый и второй замечатель­ные пределы и следствия из них.

Образец выполнения задания:

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №2 - открытая онлайн библиотека

Так как знаменатель дроби при х=2 отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим: Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №3 - открытая онлайн библиотека

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №4 - открытая онлайн библиотека

Здесь предел делителя равен нулю: Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №5 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Т.к. Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №6 - открытая онлайн библиотека то Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №7 - открытая онлайн библиотека при Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №8 - открытая онлайн библиотека есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №9 - открытая онлайн библиотека - бесконечно большая. Поэтому при Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №8 - открытая онлайн библиотека произведение Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №11 - открытая онлайн библиотека есть величина бесконечно большая, т.е ее предел равен бесконечности

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №12 - открытая онлайн библиотека

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №13 - открытая онлайн библиотека

Здесь пределы числителя и знаменателя при Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №14 - открытая онлайн библиотека равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислять предел нельзя, т.к. при Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №14 - открытая онлайн библиотека получается отношение двух бесконечно малых величин.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения, поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем: Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №16 - открытая онлайн библиотека

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №17 - открытая онлайн библиотека

Пределы числителя и знаменателя при Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №18 - открытая онлайн библиотека равны нулю: Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №19 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №20 - открытая онлайн библиотека

Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле: Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №21 - открытая онлайн библиотека , где Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №22 - открытая онлайн библиотека – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №23 - открытая онлайн библиотека . Используя следствие 4, получим:

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №24 - открытая онлайн библиотека

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №25 - открытая онлайн библиотека

Пределы числителя и знаменателя при Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №14 - открытая онлайн библиотека равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель а затем сократив дробь на х, получим:

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №27 - открытая онлайн библиотека

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №28 - открытая онлайн библиотека

При Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №29 - открытая онлайн библиотека знаменатель Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №30 - открытая онлайн библиотека неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №31 - открытая онлайн библиотека – бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №32 - открытая онлайн библиотека есть величина бесконечно малая, и предел ее при Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №29 - открытая онлайн библиотека равен нулю, следовательно: Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №34 - открытая онлайн библиотека

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №35 - открытая онлайн библиотека

При Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №29 - открытая онлайн библиотека числитель и знаменатель величины бесконечно большие. Поэтому при применении теоремы 3 получаем неопределенность Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №37 - открытая онлайн библиотека . Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на х (при Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №29 - открытая онлайн библиотека слагаемые3/х и 1/х – величины бесконечно малые, и следовательно их пределы равны нулю): Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №39 - открытая онлайн библиотека

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №40 - открытая онлайн библиотека

Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на х3:

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №41 - открытая онлайн библиотека

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №42 - открытая онлайн библиотека

Задания для выполнения в аудитории: Вычислите предел функции:

Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №43 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №44 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №45 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №46 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №47 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №48 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №49 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №50 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №51 - открытая онлайн библиотека

Задания для самостоятельного выполнения Вычислите предел функции.

Исходные данные по вариантам

2.
Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №52 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №53 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №54 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №55 - открытая онлайн библиотека
4. Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №56 - открытая онлайн библиотека
Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №57 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №58 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №59 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №60 - открытая онлайн библиотека
6.
Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №61 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №62 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №63 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №64 - открытая онлайн библиотека
7. 8.
Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №65 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №66 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №67 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №68 - открытая онлайн библиотека
9. Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №69 - открытая онлайн библиотека 10.
Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №70 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №71 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №72 - открытая онлайн библиотека Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №73 - открытая онлайн библиотека

В результате выполнения практической работы студент должен:

знать:

- определение предела функции в точке;

- свойства предела;

- первый и второй замечательные пределы;

уметь:

- вычислять пределы функции в точке и на бесконечности;

- раскрывать неопределенности вида { Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №74 - открытая онлайн библиотека }, { Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №75 - открытая онлайн библиотека }, { Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №76 - открытая онлайн библиотека },{ Цель:Научиться находить предел функции в точке и на бесконечности; раскрывать - №77 - открытая онлайн библиотека }.