Передавальні функції імпульсної системи

Передавальні функції імпульсної системи - №1 - открытая онлайн библиотека Передавальна функція розімкнутої системи. Під час дослідження імпульсних систем зовнішня дія переноситься на вхід імпульсного елемента за правилами перетворення структурних схем, отже структурна схема зводиться до вигляду, зображеному на рис. 8.2, б), де Wф(s) і Wб(s) – передавальні функції формувача імпульсів і безперервної частини системи. Тоді передавальна функція приведеної безперервної частини (ПБЧ): Wп(s) = Wф(s)Wб(s).

Структурна схема такої розімкнутої імпульсної системи зображена на рис. 8.6, де d – дискретний сигнал, який становить послідовність миттєвих імпульсів.

Щоб визначити дискретну передавальну функцію розімкнутої системи, що складається з послідовно з’єднаних імпульсного елемента і безперервної частини, необхідно знайти передавальну функцію приведеної безперервної частини, а потім її z-зображення:

W(z) = Z{Wп(s)}. (8.36)

Якщо імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси, то відповідно до (8.3) передавальна функція ПБЧ визначається формулою:

Передавальні функції імпульсної системи - №2 - открытая онлайн библиотека

Тоді, ураховуючи, що q = sT0 і eq = z, і згідно з (8.36) і (8.33) отримуємо:

Передавальні функції імпульсної системи - №3 - открытая онлайн библиотека (8.37)

За умови g =1, коли імпульсний елемент є екстраполятором нульового порядку, передавальна функція має вигляд:

Передавальні функції імпульсної системи - №4 - открытая онлайн библиотека (8.38)

За умови g << 1 вираз (8.36) спрощується і відповідно до (8.7) набуває вигляду:

W(z) = Z{gT0Wб(s)} = gT0Z{Wб(s)}. (8.39)

Під час визначення дискретної передавальної функції розімкнутої системи слід мати на увазі, що для імпульсних систем з одним імпульсним елементом на вході передавальна функція послідовно з’єднаних ланок, на відміну від безперервної системи, не дорівнює добутку передавальних функцій цих ланок, тобто Передавальні функції імпульсної системи - №5 - открытая онлайн библиотека

Для визначення дискретної передавальної функції W(z) необхідно спочатку знайти Передавальні функції імпульсної системи - №6 - открытая онлайн библиотека а потім здійснити z-перетворення

Передавальні функції імпульсної системи - №7 - открытая онлайн библиотека (8.40)

Проте в тому разі, коли кожна з послідовно з’єднаних ланок має на вході свій імпульсний елемент, загальну передавальну функцію можна знайти як добуток дискретних передавальних функцій, визначених для кожної ланки з власним імпульсним елементом.

При паралельному з’єднанні ланок дискретна передавальна функція W(z) може бути визначена як сума дискретних передавальних функцій, що знайдені для кожної ланки окремо:

Передавальні функції імпульсної системи - №8 - открытая онлайн библиотека (8.41)

У додатку А наведені z-перетворення основних передавальних функцій.

Приклад 8.4 Визначити дискретну передавальну функцію W(z) розімкнутої імпульсної системи, якщо передавальна функція безперервної частини має вигляд: Wб(s) = k/[s(T1s+1)(T2s+1)], а імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси (g << 1) з періодом слідування Т0. При розрахунку прийняти Т0 = 1с; Т1 = 1с; Т2 = 0,5с; k = 100с-1; g = 0,01.

Згідно з формулою (8.39) запишемо

W(z) = gT0Z{Wб(s)} = gT0Z{ k/[s(T1s+1)(T2s+1)]}.

Передавальну функцію Wб(s) подамо у вигляді суми простих дробів. Рівняння s(T1s+1)(T2s+1) = 0 має один нульовий корінь і два дійсних: s1 = 0; s2 = -1/T1; s3 = -1/T2, тому

Передавальні функції імпульсної системи - №9 - открытая онлайн библиотека

де

Передавальні функції імпульсної системи - №10 - открытая онлайн библиотека

З урахуванням числових значень маємо:

Передавальні функції імпульсної системи - №11 - открытая онлайн библиотека

За даними таблиці 8.1 і з урахуванням властивості лінійності отримаємо:

Передавальні функції імпульсної системи - №12 - открытая онлайн библиотека

де Передавальні функції імпульсної системи - №13 - открытая онлайн библиотека

Після перетворень остаточно маємо:

Передавальні функції імпульсної системи - №14 - открытая онлайн библиотека

Передавальна функція замкнутої системи. Розглянемо імпульсну систему (рис. 8.2, б). Вважаємо, що передавальну функцію W(z) розімкнутої системи визначено. Тоді передавальна функція замкнутої системи (для незміщених дискретних функцій) має вигляд:

Wз(z)=Y(z)/G(z) = W(z)/[1+W(z)]. (8.42)

Аналогічно до безперервних систем, передавальна функція замкнутої системи за помилкою визначається так:

Wx(z) = X(z)/G(z) = 1/[1 + W(z)]. (8.43)

Передавальні функції (8.42) і (8.43) можна використовувати для оцінювання стійкості та якості імпульсних систем.

Слід зазначити, що цими формулами можна користуватися лише у тому разі, коли вагова функція дорівнює нулю у момент t=0. Для цього у системах з нескінченно короткими імпульсами у вигляді d-функцій необхідно, щоб степінь полінома чисельника передавальної функції безперервної частини Wб(s) був меншим степеня полінома знаменника принаймні на два. Інакше у дискретних передавальних функціях замкнутих систем необхідно використовувати функцію W(z,-0) або z-1W(z,1), що їй дорівнює.

Приклад 8.5 Визначити дискретні передавальні функції замкнутої імпульсної системи (рис. 8.2, б), якщо Передавальні функції імпульсної системи - №15 - открытая онлайн библиотека

Передавальна функція розімкнутої імпульсної системи:

Передавальні функції імпульсної системи - №16 - открытая онлайн библиотека

За (8.42) і (8.43) передавальні функції замкнутої системи за керуючою дією і за помилкою відповідно дорівнюють:

Wз(z)=Y(z)/G(z) = kT0/(z + kT0 - 1];

Wx(z) = X(z)/G(z) = (z –1)/(z + kT0 – 1).