Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия)

Вид деформации, когда на балку действует поперечная нагрузка и продольные силы растяжения или сжатия вдоль ее оси, называется продольно-поперечным или сложным изгибом. Так, для балки, показанной на рис. 9.3, поперечная нагрузка интенсивностью q вызывает поперечный изгиб, а растягивающая сила Р – растяжение (в случае действия сжимающей силы Р балка испытывает изгиб и сжатие). Тогда в поперечном сечении балки с координатой х будут иметь место два вида простейших деформаций, вызывающих нормальные напряжения (касательными напряжениями пренебрегают из-за их малой величины):

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №1 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 9.3 – Продольно-поперечный изгиб балки

1) изгиб, приводящий к нормальным напряжениям

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №2 - открытая онлайн библиотека

2) растяжение, при котором

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №3 - открытая онлайн библиотека

где Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №4 - открытая онлайн библиотека – изгибающий момент в поперечном сечении с координатой х; y – ордината по высоте сечения балки; F – площадь поперечного сечения балки.

Тогда на основе принципа независимости действия сил полное напряжение в любой точке по высоте сечения равно:

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №5 - открытая онлайн библиотека

Покажем на рис. 9.4 распределение напряжений по высоте прямоугольного сечения при рассмотренном виде нагружения балки (см. рис. 9.4):

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №6 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 9.4 – Распределение нормальных напряжений при продольно-поперечном изгибе балки

Из рисунка видно, что наибольшие суммарные напряжения от изгиба и растяжения будут в наиболее удаленной т.А от центра тяжести сечения балки:

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №7 - открытая онлайн библиотека

где Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №8 - открытая онлайн библиотека – максимальный изгибающий момент в опасном сечении балки; Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №9 - открытая онлайн библиотека – минимальный момент сопротивления сечения балки, равный Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №10 - открытая онлайн библиотека – допускаемые напряжения.

В этом случае предполагается, что балка настолько жестка и мало прогибается, что продольная сила Р все время действует параллельно оси балки без учета ее искривления.

При сжимающей продольной силе Р сжимающие нормальные напряжения балки будет Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №11 - открытая онлайн библиотека и наиболее нагруженной точкой по высоте сечения окажется т.В (см. рис. 9.4):

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №12 - открытая онлайн библиотека

В общем случае растягивающей или сжимающей продольной силы Р условие прочности при продольно-поперечном изгибе балки имеет вид:

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №13 - открытая онлайн библиотека

Прогибы балки при продольно-поперечном изгибе можно получить, интегрируя дифференциальное уравнение упругой линии балки:

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №14 - открытая онлайн библиотека

где М – изгибающий момент от поперечной к продольной нагрузки балки Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №15 - открытая онлайн библиотека здесь первое слагаемое соответствует изгибающему моменту от поперечной нагрузки, а второе – изгибающему моменту от продольной силы.

Для коротких и жестких балок ( Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №16 - открытая онлайн библиотека ) максимальный суммарный прогиб от изгиба и продольного нагружения 𝓌 можно приблизительно считать равным изгибу от поперечной нагрузки Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) - №17 - открытая онлайн библиотека , который рассчитывается любым аналитическим или энергетическим методами.