Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма: пусть функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №1 - открытая онлайн библиотека определена в замкнутом промежутке [a,b]. Внутренняя точка с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение

- в этой точке существует конечная производная Основные теоремы дифференциального исчисления - №2 - открытая онлайн библиотека . Тогда Основные теоремы дифференциального исчисления - №3 - открытая онлайн библиотека .

Геометрический смысл этой теоремы заключается в следующем: При выполнении условий теоремы в указанной точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №4 - открытая онлайн библиотека т.е. касательная к кривой в этой точке параллельна оси OX. если y=f(x) определена [a,b] (.)c=max(min) Основные теоремы дифференциального исчисления - №2 - открытая онлайн библиотека

Тогда Основные теоремы дифференциального исчисления - №3 - открытая онлайн библиотека .

Основные теоремы дифференциального исчисления - №7 - открытая онлайн библиотека

Теорема Ферма может быть неприменима, если в точке C конечной производной нет

Основные теоремы дифференциального исчисления - №8 - открытая онлайн библиотека

Теорема Ролля.

пусть функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №1 - открытая онлайн библиотека

1. определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b]

2. существует конечная производная Основные теоремы дифференциального исчисления - №10 - открытая онлайн библиотека хотя бы в отдельном промежутке (a,b)/

3. На концах промежутка функция принимает равные значения Основные теоремы дифференциального исчисления - №11 - открытая онлайн библиотека

Тогда между a и b найдется такая точка c , что Основные теоремы дифференциального исчисления - №3 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №13 - открытая онлайн библиотека

если y=f(x) Определена в [a,b] не прерывна Основные теоремы дифференциального исчисления - №10 - открытая онлайн библиотека в (a,b) тогда f(a)=f(b). Основные теоремы дифференциального исчисления - №3 - открытая онлайн библиотека

геометрический смысл в том, что при выполнении условий теоремы найдется такая точка C , что в указанной точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №3 - открытая онлайн библиотека , т.е. в указанной точке касательная перралельна оси OX.

Основные теоремы дифференциального исчисления - №17 - открытая онлайн библиотека

Теорема Лагранжа.

пусть функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №1 - открытая онлайн библиотека

- определена и не прерывна в замкнутом промежутке [a,b].

- существует конечная производная Основные теоремы дифференциального исчисления - №10 - открытая онлайн библиотека хотя бы в определенном промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - №20 - открытая онлайн библиотека .

тогда между a и b найдется такая точка c, что Основные теоремы дифференциального исчисления - №21 - открытая онлайн библиотека полученная формула называется формулой Лагранжа.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий..

Касательная в точке c параллельна [a,b].

Основные теоремы дифференциального исчисления - №22 - открытая онлайн библиотека

Угловой коэффициент Хорды равен угловому коэффициенту касательной.

Основные теоремы дифференциального исчисления - №23 - открытая онлайн библиотека Основные теоремы дифференциального исчисления - №24 - открытая онлайн библиотека

Хорда- отрезок соединяющий две точки окружности

Теорема Коши.

Пусть функции Основные теоремы дифференциального исчисления - №25 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №26 - открытая онлайн библиотека

1.определена в замкнутом промежутке [a,b]

2.имеет конечные производные Основные теоремы дифференциального исчисления - №10 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №28 - открытая онлайн библиотека хотя бы в прoмежутке (a,b)

3. Основные теоремы дифференциального исчисления - №29 - открытая онлайн библиотека в промежутке (a,b) тогда между a и b найдется такая точка c, что Основные теоремы дифференциального исчисления - №30 - открытая онлайн библиотека

Правило Лапиталя

предел отношения двух бесконечно малых или больших функций равен пределу отношения их производных ( конечному или бесконечному) если такой преднл существует в указанном смысле .

Т.е. если имеется неопределенность вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №31 - открытая онлайн библиотека или Основные теоремы дифференциального исчисления - №32 - открытая онлайн библиотека , то Основные теоремы дифференциального исчисления - №33 - открытая онлайн библиотека

Неопределенность это выражение вида: Основные теоремы дифференциального исчисления - №34 - открытая онлайн библиотека /

Пример: найти Основные теоремы дифференциального исчисления - №35 - открытая онлайн библиотека имеем неопределенность вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №32 - открытая онлайн библиотека .

Применяя правило Лапиталя получим:

Основные теоремы дифференциального исчисления - №37 - открытая онлайн библиотека

Пример: Найти Основные теоремы дифференциального исчисления - №38 - открытая онлайн библиотека , опять неопределима тогда берем вторую производную Основные теоремы дифференциального исчисления - №39 - открытая онлайн библиотека .

пример:

Основные теоремы дифференциального исчисления - №40 - открытая онлайн библиотека в данном случае имеем не определенность Основные теоремы дифференциального исчисления - №31 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №42 - открытая онлайн библиотека

Пример:

Основные теоремы дифференциального исчисления - №43 - открытая онлайн библиотека применяем правило Лапиталя: Основные теоремы дифференциального исчисления - №44 - открытая онлайн библиотека

неопределенность вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №32 - открытая онлайн библиотека остается

применяем правило Лапиталя еще раз получим

Основные теоремы дифференциального исчисления - №46 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №47 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №48 - открытая онлайн библиотека

Правило Лапиталя можно применять так же и для раскрытия неопределенностей вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №49 - открытая онлайн библиотека Для этого произведение f(x)*g(x) следует записать в виде Основные теоремы дифференциального исчисления - №50 - открытая онлайн библиотека или Основные теоремы дифференциального исчисления - №51 - открытая онлайн библиотека получить неопределенность вида : Основные теоремы дифференциального исчисления - №31 - открытая онлайн библиотека или Основные теоремы дифференциального исчисления - №32 - открытая онлайн библиотека

пример: Основные теоремы дифференциального исчисления - №54 - открытая онлайн библиотека .

1. Основные теоремы дифференциального исчисления - №55 - открытая онлайн библиотека

2. Основные теоремы дифференциального исчисления - №56 - открытая онлайн библиотека

3. Основные теоремы дифференциального исчисления - №57 - открытая онлайн библиотека

4. Основные теоремы дифференциального исчисления - №58 - открытая онлайн библиотека

5. Основные теоремы дифференциального исчисления - №59 - открытая онлайн библиотека

6. Основные теоремы дифференциального исчисления - №60 - открытая онлайн библиотека

7. Основные теоремы дифференциального исчисления - №61 - открытая онлайн библиотека

1. Основные теоремы дифференциального исчисления - №62 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №63 - открытая онлайн библиотека

Эквивалентные бесконечные величины при Основные теоремы дифференциального исчисления - №64 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №65 - открытая онлайн библиотека .

2. Основные теоремы дифференциального исчисления - №66 - открытая онлайн библиотека имеем неопределенность Основные теоремы дифференциального исчисления - №31 - открытая онлайн библиотека ,

Основные теоремы дифференциального исчисления - №68 - открытая онлайн библиотека

3. Основные теоремы дифференциального исчисления - №69 - открытая онлайн библиотека имеем неопределенность Основные теоремы дифференциального исчисления - №31 - открытая онлайн библиотека .

Основные теоремы дифференциального исчисления - №71 - открытая онлайн библиотека

4. Основные теоремы дифференциального исчисления - №58 - открытая онлайн библиотека имеем неопределенность Основные теоремы дифференциального исчисления - №31 - открытая онлайн библиотека .

Основные теоремы дифференциального исчисления - №74 - открытая онлайн библиотека

5. Основные теоремы дифференциального исчисления - №59 - открытая онлайн библиотека неопределенность вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №76 - открытая онлайн библиотека имеем сложно показательную функцию дифференцировать такую функцию можно при помощи логарифмического дифференцирования т.е. дифференцирование после предельного логарифмирования т.е.

Основные теоремы дифференциального исчисления - №23 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №78 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №23 - открытая онлайн библиотека Основные теоремы дифференциального исчисления - №80 - открытая онлайн библиотека

Используем соотношение на основе свойств логарифмов и непрерывности показательной функции.

Основные теоремы дифференциального исчисления - №81 - открытая онлайн библиотека

согласно этой формуле

Основные теоремы дифференциального исчисления - №82 - открытая онлайн библиотека

7. Основные теоремы дифференциального исчисления - №61 - открытая онлайн библиотека имеем неопределенность Основные теоремы дифференциального исчисления - №84 - открытая онлайн библиотека .

Преобразуем предел:

Основные теоремы дифференциального исчисления - №85 - открытая онлайн библиотека найдем отдельно предел по правилу Лапиталя: Основные теоремы дифференциального исчисления - №86 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №87 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №88 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №89 - открытая онлайн библиотека

пример1. Основные теоремы дифференциального исчисления - №90 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №91 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №92 - открытая онлайн библиотека

2. Основные теоремы дифференциального исчисления - №93 - открытая онлайн библиотека

пример: найти дифференциал функции Основные теоремы дифференциального исчисления - №94 - открытая онлайн библиотека точке x=2

1. выделяя линейеую относительно Основные теоремы дифференциального исчисления - №95 - открытая онлайн библиотека часть приращения функции Основные теоремы дифференциального исчисления - №96 - открытая онлайн библиотека

2. по формуле Основные теоремы дифференциального исчисления - №97 - открытая онлайн библиотека .

Решение:

1.прирощение функции

Основные теоремы дифференциального исчисления - №98 - открытая онлайн библиотека

Выделяя линейную относительно Основные теоремы дифференциального исчисления - №99 - открытая онлайн библиотека x часть прирощения функции получаем что Основные теоремы дифференциального исчисления - №100 - открытая онлайн библиотека

2. Дифференциал функции

Основные теоремы дифференциального исчисления - №101 - открытая онлайн библиотека

II. Задание и указания обучающимся по подготовке к практическому занятию

При подготовке к практическому необходимо изучить основную и дополнительную литературу.