Оценка парных зависимостей. Часть 2

Основы статической обработки экспериментальных данных. Часть 1.

В-7

Цель работы: Ознакомиться с методами статической обработки результатов испытания или обследования строительных конструкций.

Задачи :

1. Освоить процедуру нахождения закона распределения случайной величины.

2. Освоить процедуру построения парной зависимости по экспериментальным данным.

3. Научиться производить оценку статической значимости полученных зависимостей и распределений.

1) Математическое ожидание:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №1 - открытая онлайн библиотека

2) Среднеквадратичное отклонение:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №2 - открытая онлайн библиотека

3) Проверка совместимости данных:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №3 - открытая онлайн библиотека ≤2,72

(грубых ошибок нет)

4) Количество интервалов.

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №4 - открытая онлайн библиотека

Условие не выполняется, следовательно l принимается равным 7

l=9*7=63

Таким образом, выборка разбивается на 7 интервалов с шагом ∆=9мм

Выборка:

x(f) (x-ˉх)²
435,9744
1622,478
1465,358
1316,238
1244,678
1041,998
916,8784
857,3184
799,7584
744,1984
690,6384
589,5184
541,9584
411,2784
334,1584
265,0384
233,4784
176,3584
105,6784
68,5584
39,4384
27,8784
0,0784
22,2784
137,3584

Затем, после полученных данных вычисляем характеристики х²в и заносим в следующую таблицу.

серед. интер nk Распределение Гаусса Распределение Лапласа
ρk pk npk ((nk-npk)^2) /npk ρk pk npk ((nk-npk)^2) /npk
4,5 0,0126361 0,113725 2,843125 1,636265516 0,004772716 0,042954 1,073861  
13,5 0,0230516 0,207464 5,1866 0,12756339 0,011969172 0,107723 2,693064 18,41
22,5 0,0271811 0,24463 6,115738 0,203552069 0,021450998 0,193059 4,826475 0,0062
31,5 0,0227948 0,205153 5,128828 0,248449134 0,011883018 0,106947 2,673679 4,46
40,5 0,0141713 0,127542 3,188548 0,556 0,005492894 0,049436 1,235901  
49,5 0,0060157 0,054142 1,353538   0,002338967 0,021051 0,526268  
58,5 0,0022772 0,020495 0,512364   0,001173681 0,010563 0,264078  

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №5 - открытая онлайн библиотека При этом необходимо выполнение условия npk»2. Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то они объединяются с соседними.

Гаусса:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №6 - открытая онлайн библиотека

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №7 - открытая онлайн библиотека - теоретическая вероятность попадания случайной величины в к-ый интервал.

Лапласа:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №8 - открытая онлайн библиотека

а) Гаусса

х²в=2,77< Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №9 - открытая онлайн библиотека

б) Лапласа

х²в=22,9˃ Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №10 - открытая онлайн библиотека

Вывод: Сравнение характеристик х²в с теоретическими значениями показывают, что данная выборка может быть удовлетворительно описана для з-на Гаусса, а для з-на Лапласса не удовлетворяется, т.к. не выполняется неравенство.

Оценка парных зависимостей. Часть 2.

Другой задачей статистической обработки эмпирических данных является отыскание зависимости между двумя случайными величинами, одна из которых выступает в качестве аргумента, другая является функцией отклика. Эта задача решается с помощью линейного парного регрессионного анализа, в основу которого положен метод наименьших квадратов. Согласно этому методу линия регрессии, связывающая две случайные величины, строится так, чтобы сумма квадратов отклонений вдоль оси ординат была минимальной:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №11 - открытая онлайн библиотека , (1)

где Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №12 - открытая онлайн библиотека - экспериментальное значение функции в точке i.

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №13 - открытая онлайн библиотека - теоретическое значение функции в той же точке.

Теоретическая линия регрессии может быть линейной

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №14 - открытая онлайн библиотека

Или носить более сложный характер. Задача сводится к отысканию коэффициентов регрессии a, b , что достигается путем вычисления частных производных функции (1) по параметрам a, b и получения системы нормальных уравнений.

Парный регрессионный анализ осуществляется в следующем порядке:

а) принимается уравнение линии регрессии;

б) вычисляется необходимые суммы для решения системы нормальных уравнений;

в) вычисляются коэффициенты регрессии;

г) определяется значение общей дисперсии

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №15 - открытая онлайн библиотека ,

где n – число экспериментальных точек;

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №13 - открытая онлайн библиотека - среднее значение функции.

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №17 - открытая онлайн библиотека ;

д) определяется значение остаточной дисперсии

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №18 - открытая онлайн библиотека ; (2)

е) вычисляется отношение дисперсий и сравнивается с табличным значением F- критерия Фишера при уровне значимости α= 0,05

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №19 - открытая онлайн библиотека .

Если неравенство (2) выполняется, считается, что принятое уравнение линии регрессии статически значимо описывает результаты эксперимента.

Выборка:

№№ п/п x(f) y(f) yср
9,666667
15,33333
18,33333
30,33333
36,66667
48,66667

Сравниваются два уравнения линии регрессии: прямая и квадратная парабола.

а)Прямая линия

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №14 - открытая онлайн библиотека

Вычисление необходимых сумм производится с помощью табл.1 После решения системы нормальных уравнений имеем:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №21 - открытая онлайн библиотека a=-10,6 b=1,9

Среднее значение Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №22 - открытая онлайн библиотека

Общая дисперсия:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №23 - открытая онлайн библиотека

Остаточная дисперсия:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №24 - открытая онлайн библиотека

№№п/п х у х² х³ х^4 ху х²у
9,666667 96,66667 966,6667
15,33333 199,3333 2591,333
18,33333 293,3333 4693,333
30,33333 667,3333 14681,33
36,66667 916,6667 22916,67
48,66667 1362,667 38154,67
Σ
х у (у-ˉу)² ˉу=a+bx ˉy=a+bx+cx²
ˉу (y-ˉу)² ˉу (y-ˉу)²
19,14063 3,15 3,4225 9,419 19,52756
9,666667 71,5434 0,444444 12,623 8,739907
15,33333 180,0069 14,85 0,233611 16,709 1,892459
18,33333 257,3351 20,7 5,601111 21,677 11,18011
478,5156 26,55 2,4025 27,527 6,385729
30,33333 704,4601 32,4 4,271111 34,259 15,41086
36,66667 1029,34 38,25 2,506944 41,873 27,10591
48,66667 1813,34 44,1 20,85444 50,369 2,897939
Σ   4553,682   39,73667   93,14047

Отношение дисперсий:

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №25 - открытая онлайн библиотека

Принятое уравнение линии регрессии статически значимо описывает результаты эксперимента.

б) Квадратная парабола

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №26 - открытая онлайн библиотека

Порядок решения аналогичный.

a=5,373 b=0,235 c=0,049

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №27 - открытая онлайн библиотека

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №28 - открытая онлайн библиотека

Вывод: По результатам расчетов можно заключить, что оба уравнения удовлетворительно описывают эмпирическую зависимость. За линию регрессии принимается квадратная парабола

Оценка парных зависимостей. Часть 2 - №29 - открытая онлайн библиотека , поскольку она дает большее значение F.