Вопрос 6.1. Правило Крамера

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов которой является квадратной и несобственной

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №1 - открытая онлайн библиотека .

Тогда, как известно из предыдущей лекции, решение системы дается матричной формулой

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №2 - открытая онлайн библиотека .

Будем для простоты рассматривать систему с тремя неизвестными. Тогда

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №3 - открытая онлайн библиотека .

Перемножая матрицы, получим

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №4 - открытая онлайн библиотека .

Обозначим главный определитель системы через Вопрос 6.1. Правило Крамера - №5 - открытая онлайн библиотека . Так как по теореме Лапласа

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №6 - открытая онлайн библиотека ,

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №7 - открытая онлайн библиотека ,

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №8 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда Вопрос 6.1. Правило Крамера - №9 - открытая онлайн библиотека или Вопрос 6.1. Правило Крамера - №10 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.1. Решить по правилу Крамера систему уравнений

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №11 - открытая онлайн библиотека

Вычислим главный определитель системы

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №12 - открытая онлайн библиотека

Отсюда получаем

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №13 - открытая онлайн библиотека .

Конец примера.

Вопрос 6.2. Метод Гаусса.

Метод Гаусса рассмотрим на примере решения системы уравнений

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №14 - открытая онлайн библиотека

Выберем уравнение, которое содержит x. Такое уравнение будем называть ведущим. В качестве ведущего уравнения выберем первое. Используем ведущее уравнение для исключения x из второго и третьего уравнений. Для этого умножим ведущее уравнение на 2 и вычтем его из второго, затем вычтем его из третьего. Запишем ведущее уравнение первым, а результаты вычитания вторым и третим уравнением

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №15 - открытая онлайн библиотека

Выберем теперь из второго и третьего уравнения новое ведущее уравнение, содержащее y. В качестве ведущего уравнения возьмем второе. Умножим его на Вопрос 6.1. Правило Крамера - №16 - открытая онлайн библиотека и вычтем из третьего уравнения для исключения y. Тогда получим

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №17 - открытая онлайн библиотека

В результате выполненных преобразований, которые называются прямым ходом, получаем систему уравнений с треугольной матрицей. Теперь выполним обратный ход. Из последнего уравнения системы найдем Вопрос 6.1. Правило Крамера - №18 - открытая онлайн библиотека и подставим это значение во второе уравнение системы. Найдем величину y

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №19 - открытая онлайн библиотека

Из первого уравнения найдем теперь x

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №20 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, находим решение системы Вопрос 6.1. Правило Крамера - №21 - открытая онлайн библиотека .

Отметим, что, выполняя прямой ход, мы использовали преобразования, которые не изменили определитель матрицы коэффициентов. Так как эта матрица после прямого хода стала треугольной, то величина определителя равна

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №22 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, метод Гаусса можно использовать для вычисления определителей. Наконец отметим, что метод Гаусса требует меньшее количество вычислений, чем правило Крамера.

Рассмотрим теперь систему уравнений

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №23 - открытая онлайн библиотека

Выполняя первый шаг прямого хода метода Гаусса выберем первое уравнение ведущим и исключим с его помощью x

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №24 - открытая онлайн библиотека

Исключая из третьего уравнения y, получим

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №25 - открытая онлайн библиотека

Третье уравнение ни при каких значениях x, y и z не может быть выполнено. Поэтому эта система не имеет решений. Определитель исходной системы уравнений равен, как объяснено выше,

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №26 - открытая онлайн библиотека .

Можно доказать в общем виде, что у неоднородных систем уравнений с нулевым определителем нет решений, то есть такие системы уравнений несовместны.

Рассмотрим теперь систему уравнений

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №27 - открытая онлайн библиотека

Исключая x из второго уравнения, получим

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №28 - открытая онлайн библиотека

Эта система содержит три неизвестных и два уравнения. Перенесем слагаемые с z в правую часть

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №29 - открытая онлайн библиотека

Переменные x и y называются базисными переменными, а переменная z ‑ свободной. Обозначим свободную переменную z через u. Тогда получим, решая систему, бесчисленное множество решений

Вопрос 6.1. Правило Крамера - №30 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, данная система уравнений неопределена.

Можно доказать, что любая система линейных уравнений имеет одно решение, или ни одного решения, или бесконечное множество решений. Система не может иметь конечное число решений большее одного.

Приведем в заключение следующую теорему:

Теорема 6.1. Всякая однородная система уравнений совместна и

1) при неравном нулю определителе определена;

2) при равном нулю определителе неопределенна.