Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve. Такое решение в силу простоты записи может быть предпочтительным. Для решения система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств, то есть с использованием фигурных скобок.

solve({eq1,eq2,…},{x1,x2,…})

Если для дальнейших вычислений необходимо использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Затем выполняется присвоения команда assign(name). После этого над решениями можно будет производить математические операции.

Решение систем из трех линейных уравнений имеет наглядную геометрическую интерпретацию – в виде точки, в которой пересекаются три плоскости, каждая из которых описывается функцией двух переменных. Это позволяет сделать функция импликативной графики implicitplot3d.

Формат:

implicitplot3d(expr1,x=a..b,y=c..d,z=p..q,<options>);

implicitplot3d(f,a..b,c..d,p..q,<options>);

где

f, expr1 – уравнение поверхности, которая должна быть построена;

a,b,c,d,p,q – пределы изменения соответствующих переменных;

options –параметры, с помощью которых можно в широких пределах управлять видом трехмерных графиков.

С помощью команды solve можно также решить систему неравенств. Например:

> solve({x+y>=2,x-2*y<=1,x-y>=0,x-2*y>=1},{x,y});

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №1 - открытая онлайн библиотека

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1

Построить графики трех функций sin(x),sin(x)/x, sin(x3/100) линиями трех цветов и трех типов.

> plot([sin(x),sin(x)/x, sin(x^3/100)],
x=10..10,color=[black,blue,red],style=[line,line,point]);

Результат представлен на рисунке 5.2.

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №2 - открытая онлайн библиотека

Рис.5.2 – Графики трех функций

Задание 2

Построить поверхность h2 в цилиндрической системе координат.

> plot3d(h^2,a=-Pi..Pi,h=-5..5, coords=cylindrical, style=patch, color=sin(h));

Результат представлен на рисунке 5.3

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №3 - открытая онлайн библиотека

Рис.5.3 – Пример трехмерного графика

Задание 3

Построить поверхности 2*sin(x*y), x^2+y^2-10, -x^2-y^2+10 в одной системе координат

> smartplot3d(2*sin(x*y),x^2+y^2-10,-x^2-y^2+10);

Результат представлен на рисунке 5.4.

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №4 - открытая онлайн библиотека

Рис.5.4 – Поверхности, построенные в одной системе координат

Задание 4

Решить нелинейное уравнение вида y=2x2+1.25x-3.2. Выделить графически интервал изоляции корня уравнения и вычислить корень с точностью e = 10-5 .

Сеанс работы с Maple:

> restart;

> fn:=2*x^2+1.25*x-3.2; # Определение функции через оператор присваивания

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №5 - открытая онлайн библиотека

> plot(fn,x=-4..4,y=-5..15);# Графическое выделение интервала изоляции корня

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №6 - открытая онлайн библиотека

> ans:=evalf(solve(fn,x),5);# Pешение уравнения и присвоение значений корней переменной ans

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №7 - открытая онлайн библиотека

> x1=ans[1]; # Выделение первого корня уравнения

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №8 - открытая онлайн библиотека

> x2:=ans[2]; # Выделение второго корня уравнения

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №9 - открытая онлайн библиотека

> subs(x=ans[1],fn); );# Подстановка первого корня в уравнение

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №10 - открытая онлайн библиотека

> subs(x=ans[2],fn); );# Подстановка второго корня в уравнение

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №11 - открытая онлайн библиотека

Задание 5

Решить тригонометрическое уравнение вида y=sin(x2)+cos(x2). Выделить графически интервал изоляции корней уравнения на отрезке [-5..5] и вычислить все корни на этом отрезке.

Сеанс работы с Maple:

> restart;

> fn:=sin(x^2)+cos(x^2); # Определение функции через оператор присваивания

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №12 - открытая онлайн библиотека

> plot(fn,x=-5..5); # Графическое выделение корней на заданном интервале

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №13 - открытая онлайн библиотека

> ans:=solve(fn,x); #Pешение уравнения и присвоение значений корней переменной ans

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №14 - открытая онлайн библиотека

> _EnvAllSolutions:=true;# Получение всех решений

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №15 - открытая онлайн библиотека

> ans:=solve(fn,x);

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №16 - открытая онлайн библиотека

> x1:=ans[1]; # Выделение первого корня уравнения

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №17 - открытая онлайн библиотека

> x2:=ans[2]; # Выделение второго корня уравнения

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №18 - открытая онлайн библиотека

> x1*x2; # Действия над корнями

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №19 - открытая онлайн библиотека

Задание 6

По известным данным о коэффициентах прямых затрат (аij) и конечном продукте(Y)в межотраслевом балансе для трех отраслей (промышленность, строительство, сфера услуг) определить общий выпуск продукции по каждой отрасли (xij). Исходные данные приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1. Исходные данные д ля межотраслевого баланса

Отрасль-производитель Отрасль-потребитель Коэффициенты прямых затрат Конечный продукт, усл. ед.
0,1 0,3 0,2
0,2 0,2 0,3
0,1 0,1 0,4

Как известно, матричная форма записи межотраслевого баланса имеет вид

X – AX = Y, (5.1)

где А – матрица коэффициентов прямых затрат;

Y– вектор конечного продукта;

Х – вектор объемов производства.

В натуральном балансе коэффициенты прямых затрат аij означают расход i-той продукции на изготовление единицы j-той продукции.

В стоимостном балансе коэффициенты аij означают затраты i-той отрасли на каждый рубль валовой продукции j-той отрасли.

Помножив вектор Х на единичную матрицу, соотношение (5.1) можно преобразовать как

ЕХ – АХ = Y (5.2)

или

(Е – А)X = Y. (5.3)

При известных значениях коэффициентов прямых затрат соотношение (5.3) можно использовать для анализа и планирования и решить следующие задачи:

· определить объемы валовой продукции отраслей X1, X2, …, Xn по заданным объемам конечной продукции по формуле

Х = (Е – А)-1Y; (5.4)

· определить объемы конечного продукта отраслей Y1, Y2, … , Yn по заданным объемам валовой продукции X1, X2, …, Xn по формуле

Y = (E – A)X. (5.5)

На основании вышесказанного по данным таблицы 5.1 можно записать следующую систему уравнений:

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №20 - открытая онлайн библиотека X1 = 0.1X1 + 0.3X2 + 0.2X3 + 36

X2 = 0.2X1 + 0.2X2 + 0.3X3 + 11

X3 = 0.1X1 + 0.1X2 + 0.47X3 + 8

Превратив конечные продукты отраслей в свободные члены , получим:

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №21 - открытая онлайн библиотека X1 - 0.1X1 - 0.3X2 - 0.2X3 = 36

X2 - 0.2X1 - 0.2X2 - 0.3X3 = 11

X3 - 0.1X1 - 0.1X2 - 0.4X3 = 8

Или

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №22 - открытая онлайн библиотека 0.9X1 - 0.3X2 - 0.2X3 = 36

- 0.2X1 + 0.8X2 - 0.3X3 = 11

- 0.1X1 - 0.1X2 + 0.6X3 = 8

Решение данной системы уравнений осуществляется известными методами линейной алгебры.

Найдем решение этой системы уравнений при помощи функции solve СКМ Maple.

Сеанс работы с Maple:

> sys:={0.9*x1-0.3*x2-0.2*x3=36,-0.2*x1+0.8*x2-0.3*x3=11,-0.1*x1-0.1*x2+0.6*x3=8}; # задание системы

уравнений

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №23 - открытая онлайн библиотека

> ans:=solve(sys,{x1,x2,x3}); # присвоение переменной ans результатов решения системы

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №24 - открытая онлайн библиотека

> subs(ans={x1,x2,x3},sys); # подстановка результата в уравнения системы

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №25 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, объемы валовой продукции отраслей X1, X2, X3 составят 60, 40 и 30 усл. ед. соответственно.

Задания для самостоятельной работы Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №26 - открытая онлайн библиотека

Задание 1. Решить нелинейное уравнение (см. таблицу 5.2). Выделить графически интервал изоляции корня уравнения, определить метод решения уравнения и вычислить корень с точностью e = 10-4 .

Таблица 5.2

Вариант Уравнение Вариант Уравнение
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №27 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №28 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №29 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №30 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №31 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №32 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №33 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №34 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №35 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №36 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №37 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №38 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №39 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №40 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №41 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №42 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №43 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №44 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №45 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №46 - открытая онлайн библиотека

Задание 2. Решить неравенство (см. таблицу 5.3).

Таблица 5.3

Вариант Неравенство Вариант Неравенство
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №47 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №48 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №49 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №50 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №51 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №52 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №53 - открытая онлайн библиотека 9 Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №54 - открытая онлайн библиотека
5 Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №55 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №56 - открытая онлайн библиотека

Задание 3. Решить систему уравнений.

По известным данным о коэффициентах прямых затрат (аij) и конечном продукте (Y) в межотраслевом балансе для трех отраслей (промышленность, строительство, сфера услуг) определить общий выпуск продукции по каждой отрасли (xij).

Предположив, что в прогнозном периоде конечный спрос на продукцию отраслей может измениться (Y1), определить темпы роста промышленного производства.

Вариант 1

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,1 0,3 0,4 +20
0,2 0,2 0,5  
0,2 0,2 0,1  

Вариант 2

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,2 0,2 0,1  
0,5 0,3 0,2 +10
0,2 0,1 0,4  

Вариант 3

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,3 0,4 0,2  
0,2 0,1 0,3 +25
0,1 0,5 0,2  

Вариант 4

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,2 0,4 0,4  
0,1 0,5 0,2  
0,1 0,2 0,1 +10

Вариант 5

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,1 0,4 0,5 -5
0,1 0,5 0,4  
0,2 0,2 0,1  

Вариант 6

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,1 0,3 0,4 +10
0,2 0,2 0,5  
0,2 0,2 0,1  

Вариант 7

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,3 0,1 0,1  
0,4 0,3 0,5 +5
0,5 0,2 0,1  

Вариант 8

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,2 0,3 0,3  
0,1 0,1 0,1  
0,4 0,5 0,4 +15

Вариант 9

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,1 0,5 0,4  
0,2 0,2 0,1 -10
0,2 0,4 0,4  

Вариант 10

Отрасль Коэффициенты прямых затрат, aij Конечный продукт Y, млрд.руб. Изменение конечного спроса Y1, %
     
0,2 0,2 0,1 -15
0,5 0,3 0,2  
0,2 0,4 0,3  

Задание 4.Решить систему неравенств (см. таблицу 5.4).

Таблица 5.4.Вариант Условие Вариант Условие
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №57 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №58 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №59 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №60 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №61 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №62 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №63 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №64 - открытая онлайн библиотека
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №65 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №66 - открытая онлайн библиотека

Задание 5. Построить поверхность (см. таблицу 5.5):

Таблица 5.5

Вариант Условие Вариант Условие
f = 2∙sin(xy), при x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi f = Sin(x2+(y – 1)2) при x=-2..2, y=-1..3
f = cos(x+y)-1 при x=-4..4, y=-4..4 f=(exy)xy при x=-1..1,y=-1..1
f = Cos(tx)∙sin(ty) при x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, t=1..4 f = sin((x+2)t) при x=-10..10, t=1..20,n=1..50
f = Sin(xy) при x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi f=sin(x)×cos(x)×tan(x×y) при x=-4..4, y=-4..4
f= Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №67 - открытая онлайн библиотека при x = -10..10, y = =-Pi..Pi, t=1..4 f = Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve - №68 - открытая онлайн библиотека при x=-4..4, y=-4..4