Системы линейных уравнений общего вида

Если система уравнений оказалась совместной, т. е. матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №1 - открытая онлайн библиотека и Системы линейных уравнений общего вида - №2 - открытая онлайн библиотека имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности ‑ a) Системы линейных уравнений общего вида - №3 - открытая онлайн библиотека , б) Системы линейных уравнений общего вида - №4 - открытая онлайн библиотека .

а) Если Системы линейных уравнений общего вида - №3 - открытая онлайн библиотека , то имеем Системы линейных уравнений общего вида - №6 - открытая онлайн библиотека независимых уравнений с Системы линейных уравнений общего вида - №6 - открытая онлайн библиотека неизвестными, причем определитель Системы линейных уравнений общего вида - №8 - открытая онлайн библиотека этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое, например, по формулам Крамера.

б) Если Системы линейных уравнений общего вида - №4 - открытая онлайн библиотека , то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные Системы линейных уравнений общего вида - №10 - открытая онлайн библиотека , которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

Системы линейных уравнений общего вида - №11 - открытая онлайн библиотека

Ее можно решить относительно Системы линейных уравнений общего вида - №12 - открытая онлайн библиотека , так как определитель этой системы ( Системы линейных уравнений общего вида - №13 - открытая онлайн библиотека порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для Системы линейных уравнений общего вида - №12 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, при Системы линейных уравнений общего вида - №4 - открытая онлайн библиотека имеем бесчисленное множество решений.

Система уравнений называется однородной, если все Системы линейных уравнений общего вида - №16 - открытая онлайн библиотека , т. е. она имеет вид:

Системы линейных уравнений общего вида - №17 - открытая онлайн библиотека

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением Системы линейных уравнений общего вида - №18 - открытая онлайн библиотека . Пусть матрица Системы линейных уравнений общего вида - №1 - открытая онлайн библиотека системы имеет ранг Системы линейных уравнений общего вида - №20 - открытая онлайн библиотека .

Если Системы линейных уравнений общего вида - №3 - открытая онлайн библиотека , то нулевое решение будет единственным решением системы; при Системы линейных уравнений общего вида - №4 - открытая онлайн библиотека система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор ‑ столбец Системы линейных уравнений общего вида - №23 - открытая онлайн библиотека называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №1 - открытая онлайн библиотека ), если найдется такое число Системы линейных уравнений общего вида - №25 - открытая онлайн библиотека , что будет выполняться равенство Системы линейных уравнений общего вида - №26 - открытая онлайн библиотека .

Число Системы линейных уравнений общего вида - №27 - открытая онлайн библиотека называется собственным значением линейного преобразования (матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека ), соответствующим вектору Системы линейных уравнений общего вида - №29 - открытая онлайн библиотека . Матрица Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека имеет порядок Системы линейных уравнений общего вида - №31 - открытая онлайн библиотека .

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека перепишем равенство Системы линейных уравнений общего вида - №35 - открытая онлайн библиотека в виде Системы линейных уравнений общего вида - №36 - открытая онлайн библиотека , где Системы линейных уравнений общего вида - №37 - открытая онлайн библиотека - единичная матрица Системы линейных уравнений общего вида - №38 - открытая онлайн библиотека порядка или в координатной форме:

Системы линейных уравнений общего вида - №39 - открытая онлайн библиотека

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

Системы линейных уравнений общего вида - №40 - открытая онлайн библиотека .

Получили уравнение Системы линейных уравнений общего вида - №41 - открытая онлайн библиотека степени относительно неизвестной Системы линейных уравнений общего вида - №42 - открытая онлайн библиотека , которое называется характеристическим уравнением матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека , многочлен Системы линейных уравнений общего вида - №44 - открытая онлайн библиотека называется характеристическим многочленом матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека , а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека .

Для нахождения собственных векторов матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека в векторное уравнение Системы линейных уравнений общего вида - №36 - открытая онлайн библиотека или в соответствующую систему однородных уравнений нужно подставить найденные значения Системы линейных уравнений общего вида - №42 - открытая онлайн библиотека и решать обычным образом.

Пример 18. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

Системы линейных уравнений общего вида - №50 - открытая онлайн библиотека

Решение. Будем находить ранги матриц Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека и Системы линейных уравнений общего вида - №52 - открытая онлайн библиотека методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

Системы линейных уравнений общего вида - №53 - открытая онлайн библиотека .

Очевидно, что Системы линейных уравнений общего вида - №54 - открытая онлайн библиотека . Исходная система равносильна следующей системе, приведенной к ступенчатому виду:

Системы линейных уравнений общего вида - №55 - открытая онлайн библиотека

Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

Системы линейных уравнений общего вида - №56 - открытая онлайн библиотека

откуда Системы линейных уравнений общего вида - №57 - открытая онлайн библиотека , Системы линейных уравнений общего вида - №58 - открытая онлайн библиотека ‑ общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при Системы линейных уравнений общего вида - №59 - открытая онлайн библиотека , Системы линейных уравнений общего вида - №60 - открытая онлайн библиотека , Системы линейных уравнений общего вида - №61 - открытая онлайн библиотека . Вектор Системы линейных уравнений общего вида - №62 - открытая онлайн библиотека является частным решением данной системы.

Пример 19. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра Системы линейных уравнений общего вида - №63 - открытая онлайн библиотека .

Системы линейных уравнений общего вида - №64 - открытая онлайн библиотека

Решение. Данной системе соответствует матрица

Системы линейных уравнений общего вида - №65 - открытая онлайн библиотека .

Имеем

Системы линейных уравнений общего вида - №66 - открытая онлайн библиотека

следовательно, исходная система равносильна такой:

Системы линейных уравнений общего вида - №67 - открытая онлайн библиотека

Отсюда видно, что система совместна только при Системы линейных уравнений общего вида - №68 - открытая онлайн библиотека . Общее решение в этом случае имеет вид:

Системы линейных уравнений общего вида - №69 - открытая онлайн библиотека , Системы линейных уравнений общего вида - №70 - открытая онлайн библиотека .

Пример 20. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

Системы линейных уравнений общего вида - №71 - открытая онлайн библиотека

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x1, x2, x3, x4, x5, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется векторное равенство:

Системы линейных уравнений общего вида - №72 - открытая онлайн библиотека .

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

Системы линейных уравнений общего вида - №73 - открытая онлайн библиотека

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

Системы линейных уравнений общего вида - №74 - открытая онлайн библиотека

Система приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы равен Системы линейных уравнений общего вида - №75 - открытая онлайн библиотека , значит однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого ( Системы линейных уравнений общего вида - №76 - открытая онлайн библиотека ). Определитель при неизвестных x1, x2, x4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

Системы линейных уравнений общего вида - №77 - открытая онлайн библиотека

Имеем:

Системы линейных уравнений общего вида - №78 - открытая онлайн библиотека , Системы линейных уравнений общего вида - №79 - открытая онлайн библиотека , Системы линейных уравнений общего вида - №80 - открытая онлайн библиотека .

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

Системы линейных уравнений общего вида - №72 - открытая онлайн библиотека

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, Системы линейных уравнений общего вида - №82 - открытая онлайн библиотека , Системы линейных уравнений общего вида - №83 - открытая онлайн библиотека . Тогда Системы линейных уравнений общего вида - №84 - открытая онлайн библиотека , Системы линейных уравнений общего вида - №85 - открытая онлайн библиотека , Системы линейных уравнений общего вида - №86 - открытая онлайн библиотека и мы получим соотношение

Системы линейных уравнений общего вида - №87 - открытая онлайн библиотека ,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример 21. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Системы линейных уравнений общего вида - №88 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Вычислим определитель матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека :

Системы линейных уравнений общего вида - №90 - открытая онлайн библиотека

Системы линейных уравнений общего вида - №91 - открытая онлайн библиотека

Итак, Системы линейных уравнений общего вида - №92 - открытая онлайн библиотека . Корни характеристического уравнения Системы линейных уравнений общего вида - №93 - открытая онлайн библиотека ‑ это числа Системы линейных уравнений общего вида - №94 - открытая онлайн библиотека и Системы линейных уравнений общего вида - №95 - открытая онлайн библиотека . Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека . Для нахождения собственных векторов матрицы Системы линейных уравнений общего вида - №28 - открытая онлайн библиотека подставим найденные значения Системы линейных уравнений общего вида - №42 - открытая онлайн библиотека в систему: при Системы линейных уравнений общего вида - №99 - открытая онлайн библиотека имеем систему линейных однородных уравнений

Системы линейных уравнений общего вида - №100 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, собственному значению Системы линейных уравнений общего вида - №99 - открытая онлайн библиотека отвечают собственные векторы вида Системы линейных уравнений общего вида - №102 - открытая онлайн библиотека (8, 8, -3, 15), где Системы линейных уравнений общего вида - №102 - открытая онлайн библиотека - любое отличное от нуля действительное число. При Системы линейных уравнений общего вида - №104 - открытая онлайн библиотека имеем:

Системы линейных уравнений общего вида - №105 - открытая онлайн библиотека ,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

Системы линейных уравнений общего вида - №106 - открытая онлайн библиотека

Поэтому собственному значению Системы линейных уравнений общего вида - №104 - открытая онлайн библиотека отвечают собственные векторы вида Системы линейных уравнений общего вида - №108 - открытая онлайн библиотека (0, 0,-1, 1), где Системы линейных уравнений общего вида - №108 - открытая онлайн библиотека - любое отличное от нуля действительное число.