Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в по­следовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

 
  Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №1 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №2 - открытая онлайн библиотека ,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №3 - открытая онлайн библиотека, (3)

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №4 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №5 - открытая онлайн библиотека .

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

 
  Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №1 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №7 - открытая онлайн библиотека ,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №8 - открытая онлайн библиотека,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №9 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №10 - открытая онлайн библиотека ,

где k ≤ n , aii ≠ 0 , Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №11 - открытая онлайн библиотека . Коэффициенты aiiназываются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k = n, то исходная система имеет единственное решение. Из последне­го уравнения находим хn, из предпоследнего уравнения xn-1, далее подни­маясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (xn-2, ... , x1).

2. На практике удобнее работать не с системой (3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строка­ми. Удобно, чтобы коэффициент а11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11 ≠ 1 ).

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №12 - открытая онлайн библиотека Пример. Решить систему методом Гаусса:

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №13 - открытая онлайн библиотека ,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №14 - открытая онлайн библиотека,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №15 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №16 - открытая онлайн библиотека .

Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №17 - открытая онлайн библиотека ~ Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №18 - открытая онлайн библиотека ~ Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №19 - открытая онлайн библиотека ~ Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №20 - открытая онлайн библиотека

Полученная матрица соответствует системе

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №21 - открытая онлайн библиотека x1 + x2 + x3 = 3 ,

x2 = 1 ,

x3 = 1 .

Осуществляя обратный ход, находим хз = 1, х2 = 1, х1 = 1.

Системы линейных однородных уравнений.

Пусть дана система линейных однородных уравнений

 
  Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №1 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №23 - открытая онлайн библиотека ,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №24 - открытая онлайн библиотека,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №4 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №26 - открытая онлайн библиотека .

Очевидно, что однородная система всегда совместна (r(А) = r( Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №27 - открытая онлайн библиотека )), она имеет нулевое (тривиальное) решение х1 = х2 = . . . = хn = 0.

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

Теорема 4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е. r < п.

Теорема 5. Для того, чтобы однородная система п линейных уравнений с п не­известными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее опреде­литель Δ был равен нулю, т. е. Δ = 0.

Если система имеет ненулевые решения, то Δ = 0. Ибо при Δ ≠ 0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же Δ = 0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. r < n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №28 - открытая онлайн библиотека Пример. Решить систему

x1 – 2x2 + 4x3 = 0 ,

2x1 – 3x2 + 5x3 = 0 .

Решение: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №29 - открытая онлайн библиотека , r(A) = 2 ( Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №30 - открытая онлайн библиотека ) , n = 3 .

Так как r < n , то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №28 - открытая онлайн библиотека их.

x1 – 2x2 = – 4x3 ,

2x1 – 3x2 = – 5x3 .

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №32 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №33 - открытая онлайн библиотека . Стало быть,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №34 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - №35 - открытая онлайн библиотека – общее решение.

Положив x3 = 0 , получаем одно частное решение: x1 = 0, х2 =0, x3 = 0. Положив х3 = 1, получаем второе частное решение: x1 = 2, х2 = 3, x3 = 1 и т. д.