Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби

Определение 3.2. Простейшими рациональными дробями называются дроби вида:

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №1 - открытая онлайн библиотека ,

причем квадратный трехчлен имеет только комплексные корни (отрицательный дискриминант Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №2 - открытая онлайн библиотека ).

Справедлива следующая теорема (без доказательства):

Теорема 3.7. Любая правильная рациональная дробь Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №3 - открытая онлайн библиотека может быть разложена на сумму простейших рациональных дробей, при этом если знаменатель Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №4 - открытая онлайн библиотека разложен на множители, то

множителю Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №5 - открытая онлайн библиотека соответствует одна дробь Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №6 - открытая онлайн библиотека ,

множителю Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №7 - открытая онлайн библиотека соответствует сумма дробей Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №8 - открытая онлайн библиотека , множителю Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №9 - открытая онлайн библиотека соответствует дробь Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №10 - открытая онлайн библиотека ,

множителю Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №11 - открытая онлайн библиотека соответствует сумма дробей

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №12 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим метод нахождения неопределенных постоянных в разложении рациональной дроби на простейшие (метод неопределенных коэффициентов):

a) простые действительные корни (то есть их кратность равна единице), приведем их к общему знаменателю

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №13 - открытая онлайн библиотека .

и приравняем числители

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №14 - открытая онлайн библиотека .

Положим Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №15 - открытая онлайн библиотека , т.е. корням знаменателя, тогда

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №16 - открытая онлайн библиотека

то есть

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №17 - открытая онлайн библиотека .

b) кратные действительные корни или комплексные корни.

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №18 - открытая онлайн библиотека .

После приведения к общему знаменателю приравниваем числители

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №19 - открытая онлайн библиотека .

Положим Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №20 - открытая онлайн библиотека , то есть корню знаменателя, тогда Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №21 - открытая онлайн библиотека , тогда получим, перенеся слагаемое Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №22 - открытая онлайн библиотека в левую часть равенства

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №23 - открытая онлайн библиотека

или

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №24 - открытая онлайн библиотека ,

подставив вновь Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №20 - открытая онлайн библиотека , получим Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №26 - открытая онлайн библиотека . Перенесем в левую часть слагаемое Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №27 - открытая онлайн библиотека , найдем

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №28 - открытая онлайн библиотека ,

или после сокращения на x+2

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №29 - открытая онлайн библиотека ,

откуда найдем, Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №30 - открытая онлайн библиотека . Следовательно,

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №31 - открытая онлайн библиотека .

Вопрос 3.4. Интегрирование простейших дробей.

Простейшие дроби первых двух типов сводятся к табличным простой заменой переменной:

1) Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №32 - открытая онлайн библиотека .

2) Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №33 - открытая онлайн библиотека .

Простейшие дроби третьего типа вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе и соответствующих замен переменных

3) Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №34 - открытая онлайн библиотека ,

где Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №35 - открытая онлайн библиотека .

Формула получается следующим образом. Выделим полный квадрат в знаменателе

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №36 - открытая онлайн библиотека

где Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №37 - открытая онлайн библиотека (так как дискриминант Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №2 - открытая онлайн библиотека ).

Введем замену переменных Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №39 - открытая онлайн библиотека , тогда получим интеграл

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №40 - открытая онлайн библиотека

Второй интеграл табличный Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №41 - открытая онлайн библиотека . В первом сделаем замену Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №42 - открытая онлайн библиотека , тогда получим

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №43 - открытая онлайн библиотека .

Откуда

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №44 - открытая онлайн библиотека .

отсюда получается доказываемая формула заменой Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №45 - открытая онлайн библиотека .

4) Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №46 - открытая онлайн библиотека ,

где

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №47 - открытая онлайн библиотека ‑ многочлен степени Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №48 - открытая онлайн библиотека с неопределенными коэффициентами

C,D ‑ неизвестные коэффициенты.

Для определения коэффициентов нужно продифференцировать левую и правую часть равенства и применить метод неопределенных коэффициентов. Метод вычисления интеграла от рациональной дроби по этой формуле является частным случаем метода Остроградского.

Вопрос 3.5. Примеры интегрирования рациональных дробей.

Пример 3.6. Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №49 - открытая онлайн библиотека .

Разложим дробь на простейшие

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №50 - открытая онлайн библиотека

или

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №51 - открытая онлайн библиотека .

1-й способ (основной):

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №52 - открытая онлайн библиотека .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №53 - открытая онлайн библиотека ,

отсюда Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №54 - открытая онлайн библиотека

2-й способ:

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №55 - открытая онлайн библиотека

Положим x равным корням знаменателя рациональной дроби, то есть положим

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №56 - открытая онлайн библиотека

Отсюда получаем

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №49 - открытая онлайн библиотека .

Конец примера.

Пример 3.7.

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №58 - открытая онлайн библиотека .

Разложим дробь на простые

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №59 - открытая онлайн библиотека ,

и приведем правую часть к общему знаменателю. Приравняем числители, тогда

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №60 - открытая онлайн библиотека .

1-й способ:

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №61 - открытая онлайн библиотека

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №62 - открытая онлайн библиотека

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №63 - открытая онлайн библиотека

2-й способ:

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №60 - открытая онлайн библиотека .

Положим x равным корню знаменателя, то есть x=1, тогда получим 2=2B или B=1. Подставляя это в равенство, получим

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №65 - открытая онлайн библиотека ,

или

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №66 - открытая онлайн библиотека .

Откуда

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №67 - открытая онлайн библиотека .

Положим Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №68 - открытая онлайн библиотека .

Положим Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №69 - открытая онлайн библиотека .

Тогда получим

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №70 - открытая онлайн библиотека

Откуда получим

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №71 - открытая онлайн библиотека

Конец примера.

Пример 3.8. Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №72 - открытая онлайн библиотека .

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №73 - открытая онлайн библиотека .

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №74 - открытая онлайн библиотека

Найдем коэффициенты

1-й способ:

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням x

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №75 - открытая онлайн библиотека .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим:

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №76 - открытая онлайн библиотека

Отсюда Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №77 - открытая онлайн библиотека и получаем систему

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №78 - открытая онлайн библиотека

Решая ее, найдем Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №79 - открытая онлайн библиотека .

2-й способ:

Положим x равным корню знаменателя, то есть x=1, тогда получим Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №80 - открытая онлайн библиотека . подставляя Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №81 - открытая онлайн библиотека в равенство, получим

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №82 - открытая онлайн библиотека

или

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №83 - открытая онлайн библиотека

или

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №84 - открытая онлайн библиотека .

Сокращая на общий множитель Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №85 - открытая онлайн библиотека , найдем

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №86 - открытая онлайн библиотека ,

откуда Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №87 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда получаем разложение

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №88 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда получаем

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №89 - открытая онлайн библиотека

Конец примера.

Пример 3.9. Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №90 - открытая онлайн библиотека .

Для вычисления применим метод Остроградского

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №91 - открытая онлайн библиотека .

Дифференцируя это равенство, получим

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №92 - открытая онлайн библиотека .

Приведем правую часть к общему знаменателю

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №93 - открытая онлайн библиотека

и приравняем числители

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №94 - открытая онлайн библиотека .

Сравнивая коэффициенты при старших степенях, получим:

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №95 - открытая онлайн библиотека

Отсюда находим Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №96 - открытая онлайн библиотека . Поэтому получаем

Вопрос 3.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби - №90 - открытая онлайн библиотека

Конец примера.