Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница

О. Мора бойынша кернеу диаграммасы (немесе Мор шеңберлері) нормальды қысым -р және жанама τ кернеулер векторлары жиынтығы туралы түсінікті графикалық түрде береді. Бұл кернеулер бас осьтер жүйесінде қаралатын әр түрлі көлбеген алаңдарда әсер етеді. Нормальды қысым -р мөлшерін абсцисса осі бойымен салып, ал оның әрбір мөлшеріне сәйкес келетін жанама кернеулерді τ ордината осі бойымен салып диаграмманы тұрғызады.

Көлбеген алаңдағы нормальды қысым мынандай формуламен анықталатындығы белгілі [(6.3)формуласы]: Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №1 - открытая онлайн библиотека .

Осымен бірге (6.5) және (6.3) теңдеулерінен мынау келіп шығады:

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №2 - открытая онлайн библиотека . (6.11)

Бұдан басқа, бағыттаушы косинустар үшін мынандай түрде болатын белгілі шартты жазайық: Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №3 - открытая онлайн библиотека (6.12)

(6.3) теңдеуінің екі жағында Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №4 - открытая онлайн библиотека көбейтейік. Содан кейін алынған нәтижені мүшелеп (6.11) теңдеуінен алып тастайық. Ары қарай, (6.12) теңдеуінің екі жағында алдын ала Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №5 - открытая онлайн библиотека көбейтіп жоғарыда алынған теңдеуге қоссақ мынандай формуланы аламыз:

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №6 - открытая онлайн библиотека (6.13)

(6.13) теңдеуінің екі жағынада Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №7 - открытая онлайн библиотека қосып және қарапайым түрлендіруден кейін мынаны аламыз: Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №8 - открытая онлайн библиотека (6.14)

Осы әдістемені қолданып жоғарыдағы ұқсас тағы да екі теңдеуді шығарамыз. Бұл мынандай теңдеулер:

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №9 - открытая онлайн библиотека (6.15)

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №10 - открытая онлайн библиотека (6.16)

Алынған (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулерін аналитикалық геометриядан белгілі мынандай шеңбер теңдеуімен салыстырсақ: Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №11 - открытая онлайн библиотека осы теңдеулерде шеңберді анықтайды деген қорытындыны шығара аламыз. Осы шеңберлердің центрі абцисса осі бойымен орналасады және (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулері үшін сәйкесті мынандай ара қашықтықта тұрады: Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №12 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №13 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №14 - открытая онлайн библиотека

Шеңбер радиусының R еке есе дәрежесі болып саналатын (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулерінің оң жақтарында өзгеретін параметр Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №15 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №16 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №17 - открытая онлайн библиотека бар. Сондықтан (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулерінің әрбіреуі тұқымдас шоғырланған шеңберлердің теңдеулері болып саналады.

(6.3), (6.11) және (6.12) теңдеулері берілген жағдай үшін Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №18 - открытая онлайн библиотека және τ кернеулерінің қатнастық мәндерін анықтайды. Осы теңдеулерді (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулер жүйесіне математикалық түрлендірген кезде физикалық мәндері өзгертмейтін болады.

Сөйтіп (6.14) теңдеуі Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №15 - открытая онлайн библиотека бағыттаушы косинусының әр түрлі берілген мәндері үшін Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №20 - открытая онлайн библиотека және τ нүктелерінің геометриялық орнын шеңбер түрінде анықтайды. Осы (6.15) және (6.16) теңдеулеріне де әділ.

Демек Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №15 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №16 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №17 - открытая онлайн библиотека бағыттаушы косинустардың берілген мүмкін болатын топ мәндеріне (яғни (6.12) шартын қанағаттандыратын) Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №20 - открытая онлайн библиотека және τ мөлшерлері үш шеңберлердің қилысатын Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №25 - открытая онлайн библиотека нүктесімен анықталады (6.2 сурет).

Ары қарай қандай аймақта осы нүктелер орналасуы мүмкін екендігін анықтайық. Анықтау үшін Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №26 - открытая онлайн библиотека шартын қабылдайық, яғни 1 көрсеткішімен мөлшері бойынша ең үлкен басты нормальды кернеуді, 3 көрсеткішімен ең кіші басты нормальды кернеуді, ал 2 көрсеткішімен аралық басты нормальды кернеуді белгілейік. Осы шартты ылғида сақтауға болады.

Бағыттаушы косинустардың мынандай сәйкесті мәндері үшін: Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №27 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №28 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №29 - открытая онлайн библиотека яғни Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №30 - открытая онлайн библиотека бұрышы үшін (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулерімен берілген шеңберлердің R1, R2 және R3 радиустер мөлшелерін анықтайық. Осы радиустер мынаған тең:

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №31 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №32 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №33 - открытая онлайн библиотека (6.17)

6.2 – сурет. Мор шеңберлері
Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №34 - открытая онлайн библиотека

(6.14) және (6.16) теңдеулерінен көрініп тұрғандай Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №15 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №17 - открытая онлайн библиотека мөлшерлерін үлкейткен кезде сәйкесті шеңберлердің радиустері үлкейеді. Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №20 - открытая онлайн библиотека және τ кернеулерінің мүмкін болатын жұп мәндері Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №38 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №39 - открытая онлайн библиотека радиусы бар шеңберлердің үстінде немесе оның сыртында, бірақта ішінде орналасуы мүмкін еместігін осы білдіреді.

Егер Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №16 - открытая онлайн библиотека мөлшері үлкейетін болса, онда R2 радиусы кішірейеді. Өйткені жоғарыда қабылданған басты кернеулердің қатнастарына сәйкесті Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №41 - открытая онлайн библиотека айырымы теріс мәнді алады. Демек Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №20 - открытая онлайн библиотека және τ мөлшелері Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №43 - открытая онлайн библиотека болған кезде R2 радиусы бар шеңбердің ішінде орналасады.

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №44 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №45 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №46 - открытая онлайн библиотека радиустары бар шеңберлерді жоғарыда көрсетілген центрлерден (6.17)) теңдеулерін қолданып салып Мора диаграммасын аламыз (6.3 сурет). Бір-біріне сәйкес келетін Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №20 - открытая онлайн библиотека және τ кернеулерінің қос мөлшерлері сызықтап тастаған қисық сызықты үшбұрыштың ішінде жатады. 6.3 суретте тағы да диаграмманың ерекше нүктелері көрсетілген.

Шеңберлер радиусы басты жанама кернеулердің мөлшерлеріне саны бойынша тең екендігі (6.17) теңдеулерінен көрініп тұр.

6.4 – сурет. Мор диаграммасы
Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №48 - открытая онлайн библиотека

Берілген бұрыштар Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №49 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №50 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №51 - открытая онлайн библиотека бойынша 6.4 сурет көрсетілген тұрғызулардың көмегімен көлбеген алаңдағы Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №20 - открытая онлайн библиотека және τ мәндерін анықтауға және кері есептерді шешуге болады. Жалпы жағдайға Мора диаграммасы бойынша жанама кернеудің таңбасын анықтай аламыз.

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №53 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №54 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №55 - открытая онлайн библиотека кернеулерін бірдей мөлшерге үлкейткен де немесе кішірейткен де басты шеңберлердің радиустары және центрлері арасындағы ара қашықтық өзгермейтіндігін оңай көруге болады. Осындай жағдайда τ осінің жайы ғана өзгереді. Егер τ осін орташа нормальды кернеудің Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №56 - открытая онлайн библиотека мөлшеріне фигура жаққа жылжытсақ (6.4 суретте көрсетілген жағдайда оңға қарай жылжыту), онда кернеу девиаторының бейнесін аламыз (6.5 сурет). Бұндай жағдайға τ осі ылғида фигураны кесіп өтеді. Осы осьті 6.5 суретте көрсетілген тұрғызулардың көмегімен Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №56 - открытая онлайн библиотека есептемей жүргізуге болады.

6.4 – сурет. Мор диаграммасы
Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №58 - открытая онлайн библиотека

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №59 - открытая онлайн библиотека 6.5 – сурет. Мор диаграммасы

Кернеудің шарлық тензоры координаттың басынан Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №56 - открытая онлайн библиотека ара қашықтығында орналасқан радиусы нөльге тең шеңбермен ( Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №61 - открытая онлайн библиотека нүктесімен) Мор диаграммасында бейнелейді.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 4, бет 101 – 109); [2] (тарау 3, бет 77 – 101); [3] (тарау 1, бет 16 – 75); [4] (тарау 2, бет 70 – 105).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 2, бет 21 – 30).

Бақылау сұрақтары:

1. Ең үлкен жанама кернеулердің алаңдары басты осьтерге қатысты қалай бағдарланған?

2. Мор диаграммасын не үшін қолданады?

3. Мор диаграммасының диаметрін қалай анықтайды?

4. Мор диаграммасының центрін қалай табады?

5. Ең үлкен жанама кернеулер әсер ететін алаңның бағыттаушы косинустары неге тең?

6. Ең үлкен жанама кернеулер қалай анықталады ?

7. Мор диаграммасын қандай әдістемені қолданып тұрғызады ?

№7 дәріс. Лагранж және Эйлер айнымалы шамалары.

Нүкте және бөлшектер. Тұтас ортада жүретін процестерді зерттегенде нүкте деген термин қолданалады. Бұл терминді екі мағанада қолдануға болады. Біріншісі бақлаушының қозғалмайтын кеңістігінің белгіленген нүктесі ретінде қарау. Екіншісі осы кеңістіктегі тұтас ортаның қозғалатын материальды нүктесі ретінде қарау. Сондықтан ары қарай нүкте термині кеңістіктің белгіленген нүктесін білдіретін болады. Тұтас ортаның материальды нүктелерін бөлшек деп атайтын боламыз.

Сызық, бет немесе көлем сияқты геометриялық объектілерді қарағанда және бұл сөздерге кеңістіктік немесе материальдық деген сөздерді қосқанда (мысалы, кеңістіктік бет, материальдық көлем және тағы басқалар) осы фигуралар сәйкесті нүктелерден немесе бөлшектерден құралған деп есептейтін боламыз. Қарап отырған уақыт мезгелінде, байқаушының кеңістігіндегі кейбір D аймақты толтыратын шексіз көп материальды бөлшектер денені құрайды. Денені құрайтын бөлшектердің орналасуы, яғни оның құрама пішіні уақыт өткен сайын жалпы жағдайға өзгереді.

Лагранж айнамалы шамасы. Тұтас ортаның қозғалысын зерттеген кезде тағы да екі түрлі көзқарас пайда болды.

Бірінші көзқарас Лагранж есімімен байланысты. Осы көзқарас бойынша зерттеу объектісі болып материальды бөлшектердің өздері саналады. Сонда тығыздық, температура, белгіленген материальды бөлшектің жылдамдығы сияқты кейбір скалярлық немесе векторлық мөлшерлердің уақытпен өзгеруі және тағыда осы мөлшерлердің бір бөлшектен екіншісіне өткен кезде өзгеруі қаралады.

Басқаша айтқанда осы мөлшерлер уақыттан және аланған бөлшектің даралылығын сипаттайтын айнымалылардан функция ретінде қаралады.

Осындай айнамалылар ретінде, мысалы Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №62 - открытая онлайн библиотека болатын бастапқы уақыт мезгіліндегі еркін материальды бөлшектің декарттық координатасы Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №63 - открытая онлайн библиотека –ді қабылдауға болады (7.1 сурет). Онда оның ағымдағы координатасы Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №64 - открытая онлайн библиотека , байқаушының қозғалмайтын кеңістігіндегі сол базисте, уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №65 - открытая онлайн библиотека –ның және жоғарыда айтылған бөлшектің бастапқы координатасының мынандай функциясы болады: Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №66 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №67 - открытая онлайн библиотека ; Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №68 - открытая онлайн библиотека немесе қысқартылған түрде

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №69 - открытая онлайн библиотека . (7.1)

Сөйтіп бастапқы Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №63 - открытая онлайн библиотека координаталарын белгілеп және уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №71 - открытая онлайн библиотека –ны айнамалы деп есептеп біз бір белгіленген бөлшектің қозғалу заңын аламыз. Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №63 - открытая онлайн библиотека –ді айнамалы деп санап және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №73 - открытая онлайн библиотека –ны белгілеп (7.1) формуласы бойынша берілген уақыт мезгіліенде кеңістікте материальды бөлшектің таралуын табуға болады.

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №74 - открытая онлайн библиотека

7.1 – сурет. Материальды бөлшектің декарттық координат жүйесінде қозғалуы

Егер Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №63 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №73 - открытая онлайн библиотека –ны айнамалы деп саналса, онда (7.1) формулалары тұтас ортаның қозғалу заңы болып саналады. Әдеттегідей, соңында Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №77 - открытая онлайн библиотека функциялары үздіксіз және барлық аргументтері бойынша үздіксіз жеке туындылары бар деп есептейтін боламыз, ал кез келген Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №78 - открытая онлайн библиотека уақыттарында (7.1) қатнасы өзара бір қатарлы болып келетіндігін ескеруіміз қажет.

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №79 - открытая онлайн библиотека айнымалары және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №78 - открытая онлайн библиотека уақыты Лагранж айнамалылары деп аталады. Материальды бөлшек жылдамдығы мен үдеу проекцияларын келесі формулалармен анықтайды:

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №81 - открытая онлайн библиотека (7.2)

Жалпы жағдайда қаралатын материальды көлемде бір бөлшекті екінші бөлшектен айыратын Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №82 - открытая онлайн библиотека декарттық координаттардың орнына осы бөлшектің бастапқы уақыт мезгілендегі ( Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №62 - открытая онлайн библиотека ) қисық сызықты координатасын Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №84 - открытая онлайн библиотека –ді қолдануға болатындығын ескерте кету қажет.

Ілеспелі координаттар жүйесі. Осыған дейін тұтас ортаның қозғалысын біз байқаушының есеп беру жүйесіне қатысты қарадық, яғни қозғалмайтын тікбұрышты декарттық координат жүйесі Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №85 - открытая онлайн библиотека қатысты қарадық. Бірақта (7.1) байланыстары бөлшектің кеңістіктегі жайын, оның Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №79 - открытая онлайн библиотека лагранждық координатасымен толық анықтайтығын оңай көруге болады. Осы ілеспелі жүйе деп аталатын қозғалмалы деформацияланатын координаттар жүйесін Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №79 - открытая онлайн библиотека , яғни тағыда бір есеп беру жүйесін еңгізуге мүмкіндік береді.

Бастапқы уақыт мезгілінде ілеспелі жүйенің материальды координатты сызықтары түзу болады. Кез келген келесі уақыт мезгілінде осы ілеспелі жүйенің материальды координатты сызықтары тұтас ортаның бөлшектерімен бірге, осы жүйенің координатты сызықтарына қайтадан ауысады, бірақта жалпы жағдайда кисайып кетеді. Ілеспелі қисық сызықты координат жүйесі тұтас ортаға бектілген және осы ортамен бірге деформацияланады деп айтуға болады (7.2 сурет).

Эйлер айнамалы шамасы. Эйлер есімімен байланысты екінші пікір бойынша, зерттеу объектісі болып қозғалмайтын бақылаушы кеңістігі қабылданады немесе қозғалатын ортамен толтырылған оның белгіленген бөлігі қабылданады. Қозғалысты сипаттайтын әр түрлі мөлшерлер нүкте және уақыт функциясы болып саналады, яғни Эйлер айнымалы шамасы деп аталатын үш аргумент Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №64 - открытая онлайн библиотека және уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №78 - открытая онлайн библиотека –ның функциясы болады.

Мысалы, Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №90 - открытая онлайн библиотека радиус-векторы бар кеңістіктің берілген нүктесіндегі жылдамдық үшін формула мынандай түрді алады: Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №91 - открытая онлайн библиотека .

Сөйтіп, Эйлердің ойы бойынша, зерттеу объектісі болып әр түрлі өрістер (скалярлық, векторлық немесе тензорлық) есептеледі. Осы өрістер тұтас ортаның қозғалысын сипаттайды.

7.2 – сурет. Көлем элементінің деформациясы
Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №92 - открытая онлайн библиотека

Эйлерлік айнымалы шамалардан Лагранждық айнымалы шамаларға ауысу. Сонымен Лагранждың көзқарасы бойынша біздің назарымызға жеке бөлшек жылдамдығының, қысымының, температурасының және басқа мөлшерлерінің өзгеру заңдары түседі. Ал Эйлердің көзқарасы бойынша біздің назарымызға кеңістіктің берілген нүктесінде осы шамалардың өзгеру заңдары түседі. Лагранж айнымалы шамасынан Эйлер айнымалы шамасына қалай өтуге болады? Осы сұраққа жауап беру үшін (7.1) байланысына сүйенейік. Айтылған байланысты Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №79 - открытая онлайн библиотека қатысты шешіп мынаны аламыз:

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №94 - открытая онлайн библиотека , (7.3)

яғни Эйлер айнымалы шамасына ауысамыз. Егер координатасы Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №85 - открытая онлайн библиотека болатын нүктені белгілесек, онда (7.3) формуласы қандай жеке бөлшектер Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №78 - открытая онлайн библиотека уақтысында белгіленген кеңістік нүктесіне келетіндігін көрсетеді. (7.3) теңдеуін Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №97 - открытая онлайн библиотека қатысты шеше отырып (7.1) теңдеуін аламыз, яғни Эйлер айнымалы шамаларынан Лагранж айнымалы шамаларына өтеміз.

Осындай ауысудың тағы да бір тәсілін қарайық. Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №85 - открытая онлайн библиотека координатасы және уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №78 - открытая онлайн библиотека –дан функция ретінде жылдамдық векторының сыңарлары Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №100 - открытая онлайн библиотека бізге берілсін. Тұтас ортаның бөлшектерін дараландыратын Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №79 - открытая онлайн библиотека параметрлері тұрақты болған кезде, сәйкесті координаттың уақыт бойынша туындысы қылып жылдамдық сыңарларын анықтайтын Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №102 - открытая онлайн библиотека дифференциальдік теңдеулер жүйесін жазайық. Осы жүйені шешіп және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №62 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №104 - открытая онлайн библиотека шартынан интегралдау тұрақтысын анықтап іздеген (7.1) байланысын табамыз.

Лагранждық және Эйлерлік түрде қозғалысты жазу. Бастапқы кезде ығысу кішкентай деген талапты қоймай тұтас ортаның қозғалысын қарайық. Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №105 - открытая онлайн библиотека базисін таңдайық. Осы базисті байқаушымен салыстырғанда бектілген деп есептейміз.

Материальды бөлшек бастапқы Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №62 - открытая онлайн библиотека уақтысында бастапқы координатасы ( Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №79 - открытая онлайн библиотека ) болатын кеңістік нүктесінде, ал ағымдағы Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №78 - открытая онлайн библиотека уақтыснда ағымдығы координатасы ( Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №85 - открытая онлайн библиотека ) болатын кеңістік нүктесінде орналассын.

Сәйкесті радиус-векторларды мынандай түрде жазуға болады:

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №110 - открытая онлайн библиотека (7.4)

және Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №111 - открытая онлайн библиотека . (7.5)

Сонымен бірге мынандай теңдікті де жазу әділ болады: Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №112 - открытая онлайн библиотека , (7.6)

мұндағы Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №113 - открытая онлайн библиотека – орын ауыстыру векторы.

Жоғарыда біз айтқанымыздай, тұтас ортаның қозғалысын бейнелейтін бастапқы және ағымды координаттардың арасындағы байланысты екі түрлі әдіспен көрсетуге болады.

Бірінші Логранждық әдісте тәуелсіз айнымалы шамалар болып бөлшектің бастапқы координатасы және уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №78 - открытая онлайн библиотека есептеледі, демек Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №115 - открытая онлайн библиотека немесе векторлық түрде

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №116 - открытая онлайн библиотека . (7.7)

Әдеттегідей осы сәйкестік өзара бір қатарлы деп жорамалдаймыз және де, (7.1) функцияларында кез келген ретті үздіксіз жеке туындылар бар болады деп есептейміз.

Осымен бірге тұтас ортаның қозғалысын мынандай қатнас түрімен жазуға болады:

Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №117 - открытая онлайн библиотека немесе Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №118 - открытая онлайн библиотека . (7.8)

Мұнда тәуелсіз айнымалы шамалар болып Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №64 - открытая онлайн библиотека координаталары және уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №78 - открытая онлайн библиотека саналады. Қозғалысты Эйлерлік әдіспен жазу ағымдағы уақыт мезгілінде ( Мора кернеуінің диаграммасы 1 страница - №85 - открытая онлайн библиотека ) жайын алатын бөлшектің бастапқы координатасын табуға мүмкіндік береді.