Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница

Жоғарыдағы жағдайда сияқты (7.3) қатнасын өзара бір қатарлы және үздіксіз, яғни барлық аргументтері бойынша үздіксіз жеке туындылары бар деп санайтын боламыз.

Сірә, (7.1) және (7.3) формулары өзара кері функциялардың жалғыз жұбы түрінде ұсынылған және де, тұтас ортаны толтырған аймақтың әрбір нүктесіндегі мынандай функциональды анықтауш (якобион): Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №1 - открытая онлайн библиотека (7.9)

нөльден айырмашылықта болады.

Бейнелеу. Көлемнің өзгеруі. Еркін бекітілген уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №2 - открытая онлайн библиотека -ның мәні үшін (7.1) және (7.2) функциялар жүйесі екі түрлі көзқараспен қаралуы мүмкін. Жоғарыда баяндалған біреуі бойынша олар байқаушының қозғалмайтын декарттық координат жүйесінде тұтас ортаның қозғалысын (деформациясын) бейнелейді.

Екінші көзқарас бойынша айтылған жүйелердің бірінші (7.1) жүйесі Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №3 - открытая онлайн библиотека декорттық координат жүйесімен жабдықталған үш өлшемді евклидов кеңістігінің кейбір D аймағын (7.3 сурет) Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №4 - открытая онлайн библиотека декорттық координат жүйесімен жабдықталған екінші үш өлшемді евилидов кеңістігінің Е аймағына тегіс бейнелеуді анықтайды. Уақыттың әр түрлі мезгілінде Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №2 - открытая онлайн библиотека дененің сырт пішінін анықтайтын бейнелеудің осындай тізбегі, тұтас ортаның қозғалысын және осы қозғалыспен байланысты деформацияны суреттейді. Бейнелеудің якобионы (7.9), осы бейнелеудің өте маңызды сипаттамасы болып саналады. Бейнелеу якобионының модулі қаралатын нүктедегі бейнелеудің бұрмалану коэффициенті болады. Осы коэффициент, шексіз кішкентай мөлшердің жоғарғы ретке дейінгі дәлдігімен, көрсетілген нүкте кіретін шексіз кішкентай аймақтың көлемі, оны бейнеленген кезде қанша рет өзгеретіндігін көрсетеді. (7.9) якобионы нөльге айналмайтындығы осыдан шығады. Тағыда айтатын нәрсе, ол бейнелеу уақытпен үздіксіз байланысты және бастапқы уақытта ( Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №6 - открытая онлайн библиотека ) тепе-теңдікті бейнелеудің якобионы бірге тең болғандықтан, ол ылғида оң болады.

Ағымдағы көлемі Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №7 - открытая онлайн библиотека және бастапқы көлемі Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №8 - открытая онлайн библиотека болатын көлемдердің элементтері үшін мынандай қатнас орынды болады: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №9 - открытая онлайн библиотека . (7.10)

Қысылмау шартын мынандай түрде жазуға болады: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №10 - открытая онлайн библиотека . (7.11)

Осыған ұқсас Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №2 - открытая онлайн библиотека бекітілген болған кезде (7.3) функциялар жүйесі Е аймағын D аймағына бейнелеуді анықтайды. Сонда мынаны жазуға болады: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №12 - открытая онлайн библиотека . (7.12)

7.3 – сурет. Бейнелеу сияқты тұтас ортаның қозғалысы
Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №13 - открытая онлайн библиотека

Аффиндік бейнелеу. Сызықтық бейнелеудің мынандай түрін:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №14 - открытая онлайн библиотека (7.13)

аффиндік деп атайды. Аффиндік бейнелеу бүкіл Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №3 - открытая онлайн библиотека кеңістігінде анықталған. Бейнелеудің якобионы, яғни Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №16 - открытая онлайн библиотека анықтаушысы, кеңістіктің әрбір нүктесінде тұрақты мәнді сақтайды.

Аффиндік бейнелеу кез-келген сфераны эллепсоид етіп, ал жазықтық пен түзуді жазықтық және түзу етіп бейнелеумен жақсы.

Аффиндік бейнелеумен жазылатын деформацияланатын күй біркелке деп аталады.

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №16 - открытая онлайн библиотека тензорын диагональдық түрге келтірген кезде, бейнелеу жаңа координаттық осьтің бойымен біркелкі созуға (қысуға) келтірілетіндігі оқулық [1] жазылған (1.1 леммасы). Сонда (7.13) теңдеуі мынандай қарапайым түрді қабылдайды:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №18 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №19 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №20 - открытая онлайн библиотека . (7.14)

Әрбір дифференциалданатын бейнелеу жергілікті аффинді болып саналады. Сондықтан шексіз кішкентай аймақтағы аффиндік бейнелеу, барлық кеңістіктегі аффиндік бейнелеу ие болатын қасиетті иемденеді.

Сонымен, қозғалыс әрқашанда кейбір есеп беру жүйесіне, яғни координат жүйесіне қатысты анықталады. Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №21 - открытая онлайн библиотека коордианттары тікбұрышты декарттық координаттар жүйесінің координаттары болсын. Материальдық бөлшек Р-нің қозғалысын қарайық (7.1 сурет). Бастапқы кезде ( Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №22 - открытая онлайн библиотека уақтысында) осы бөлшек Р0 Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №23 - открытая онлайн библиотека орнын алады, Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №24 - открытая онлайн библиотека бетімен шектелген бастапқы (деформацияға дейінгі) Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №25 - открытая онлайн библиотека көлемде орналасады. Ең ақырғы (деформацияланған) күйде осы бөлшек Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №26 - открытая онлайн библиотека жайын алады және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №27 - открытая онлайн библиотека бетімен шектелген Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №28 - открытая онлайн библиотека деформацияланған көлемінде орналасады. Материалды бөлшек Р қозғалғанда, оның маңызды күйіне Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №29 - открытая онлайн библиотека бөлшегі сәйкес келеді және маңызды күй түсінігін барлық деформациялау процесінің нәтижесі де (түпкі күйі де) кіреді. Сөйтіп Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №30 - открытая онлайн библиотека , Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №31 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №32 - открытая онлайн библиотека дегеніміз бастапқы, маңызды және түпкі (нәтижелі) күйлердегі шексіз кішкентай бір материалды талшық. Егер бөлшек таңдалған координат жүйесіне қатысты қозғалса, онда оның Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №33 - открытая онлайн библиотека координаттары Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №2 - открытая онлайн библиотека уақытысы бойынша төмендегідей өзгереді: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №35 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №36 - открытая онлайн библиотека

Қозғалатын материалды бөлшек уақыттың әр түрлі мезгілінде кеңістіктің әр түрлі нүктесіне келеді. Егер Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №37 - открытая онлайн библиотека функциясы белгілі болса онда материалды бөлшектің қозғалыс заңы белгілі болады.

Егер барлық материалды бөлшектің қозғалысы жазылған болса, онда тұтас ортаның ағатын немесе деформацияланатын қозғалыс заңы берілген болар еді. Ол үшін әрбір материалды бөлшекті жекеленген деп есептеу керек, яғни әрбір материалды бөлшекті бастапқы уақыт мезгілінде Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №38 - открытая онлайн библиотека нөмірлермен немесе бастапқы күй координаталары Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №21 - открытая онлайн библиотека –пен белгілеп қою керек. Онда тұтас ортаның қозғалысы, төрт айнымалы шамалар кіретін (7.1) формуласымен жазылады.

Егер (7.1) формуласында Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №21 - открытая онлайн библиотека координаттары бекітілген болса, онда тұтас ортаның барлық қозғалысынан жалғыз материалды бөлшектің қозғалысын ғана бөліп қарайтын боламыз. Егер Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №21 - открытая онлайн библиотека координаттары әр түрлі болса, онда (7.1) функциясы бекітілген Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №42 - открытая онлайн библиотека уақыт мезгілінде материалды бөлшектердің кеңістікте таралуын анықтауға мүмкіндік береді. Осындай жағдайға материалды бөлшектер арасындағы ара қашықтықтың өзгеруі тіркелген болар еді. Сөйтіп (7.1) функциясы белгілі болса, онда тұтас ортаның деформация заңы берілген болады. Жоғарыда айтылған жағдайда деформация термині бастапқы және маңызды, соның ішінде түпкі (немесе нәтижелі) күйлерді салыстыруға қолданылады. Бірақта уақыт бойынша деформацияланудың тарихы қаралмайды. (7.1) теңдеуіндегі Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №21 - открытая онлайн библиотека координаттары және уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №2 - открытая онлайн библиотека Лагранж айнымалылары деп аталатындығын жоғарыда айттық. Тұтас ортадағы материалды бөлшектердің орын ауысуын төмендегі формуламен анықтайды: ағыс үшін Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №45 - открытая онлайн библиотека ; (7.15)

деформация үшін Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №46 - открытая онлайн библиотека (7.16)

Деформациаланатын қатты дене механикасындағы нақтылы есептерді шығарған кезде, іздейтін мөлшерлер болатын және континуумның қозғалыс заңына кіретін функциялар (7.1) үздіксіз және өзінің барлық аргументтері бойынша үздісіз жеке туындылары бар деп әдетте пайымдайды. Әрбір бекітілген уақыт мезгілінде (7.1) функциялары өзара бір қатарлы байланаста болуы керектігі физикалық түсініктен шығады. Себебі, олай болмайтын болса екі материалды бөлшек кеңістіктің бір нүктесіне бірдей баруы мүмкін. Сондықтан (7.1) теңдеулер жүйесінің жалғыз ғана шешімі бар болады. Осы шешім бойынша Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №21 - открытая онлайн библиотека координаттарын Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №33 - открытая онлайн библиотека координаттары және уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №2 - открытая онлайн библиотека функциясы ретінде (7.3) формуласымен анықтайды.

Деформацияға дейінгі жазықтықтар мен түзулер деформациядан кейін де жазықтар мен түзулер болып қалатын өте кішкентай кесіндіні, ауданды, көлемді деформацияланатын ортадан таңдап алуға болады. Осылай деформацияланатын ортада сфера эллипске айналатындығы бұрын айтылды. Осындай басқа түрге айналу сызықтық немесе аффиндік деп аталады. Аффиндік басқа түрге айналумен жазылатын деформациялық күй біркелкі деп аталады, ал (7.1) байланыстылығы (7.13) формуласымен жазылатын түрді алады.

Түрлендірудің якобионы (сызықтық немесе аффиндік түрлендірудің), яғни Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №50 - открытая онлайн библиотека аңықтаушысы нөльге тең болмайды және (7.13) теңдеулер жүйесіне сәйкесті, кеңістіктің әбден белгілі Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №51 - открытая онлайн библиотека нүктесіне ие болатың Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №21 - открытая онлайн библиотека координатасы бар әрбір жеке материалды бөлшек үшін тұрақты мәнді сақтайды. Демек, бекітілген уақыт мезгілі Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №53 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №54 - открытая онлайн библиотека белгілі мәндері үшін (7.13) теңдеулер жүйесін Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №55 - открытая онлайн библиотека белгісіздеріне қатысты шешіп мынандай функциональдық байланысты анықтауға болады: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №56 - открытая онлайн библиотека (7.17)

Осыдан кейін ретті Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №2 - открытая онлайн библиотека -ның әр түрлі мәндері үшін ағу заңдарын (7.3) формуласы бойынша табуға болады.

(7.3) және (7.17) формуласындағы Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №33 - открытая онлайн библиотека координаталары және уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №2 - открытая онлайн библиотека Эйлер айнымалысы деп аталатындығы жоғарыда айтылды. Тұтас ортаның материалдық бөлшектерінің орын ауысуы мынандай формула бойынша жазылады: ағыс үшін

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №60 - открытая онлайн библиотека (7.18)

деформация үшін Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №61 - открытая онлайн библиотека (7.19)

Сонымен Лангранждық және Эйлерлік айнымалы шамалар бір ғана декорттық координаттар жүйесіне қатысты болады. Тұтас ортаның ағысын (7.15), (7.18) және деформациясын (7.16), (7.19) Лагранждық және Эйлерлік айнымалы шамалармен бейнелеудің арасындағы айырмашылық келесіден тұрады.

Тұтас ортаның ағысын және деформациясын (7.15) және (7.16) түрінде Лагранждық бейнелегенде, бастапқы уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №38 - открытая онлайн библиотека мезгіленде координатасы Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №21 - открытая онлайн библиотека болатын әрбір материалды бөлшектің қозғалысын бақылап отырады, яғни мұнда Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №64 - открытая онлайн библиотека . Әр түрлі уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №2 - открытая онлайн библиотека мезгілінде тұтас ортаның деформациясын бейнелеу, әрбір материалды бөлшектің орын ауыстыру векторының теңдеуімен беріледі, және де Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №66 - открытая онлайн библиотека .

Тұтас ортаның қозғалысын (7.18) және (7.19) түрінде Эйлерлік бейнелегенде кеңістіктің әрбір белгіленген нүктесінде болатынды бақылайды, яғни мұнда Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №67 - открытая онлайн библиотека . Деформациялау процесінде кеңістіктің белгіленген нүктесі арқылы әр түрлі материалды бөлшектер өтеді, яғни Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №68 - открытая онлайн библиотека . Сондықтан орын ауыстырудың шамасы уақыт бойынша өзгереді, бірақта Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №69 - открытая онлайн библиотека .

Уақыт Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №70 - открытая онлайн библиотека мезгілінде Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №71 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №72 - открытая онлайн библиотека теңдіктерінің бар болуы бастапқы уақыт tо мезгілінде тұтас ортаның деформацияланбағынын, бастапқы орын ауыстырудың және кернеудің жоқтығын дәлелдейді.

Сонымен, Лагранждың көзқарасы бойынша зерттеушіні тұтас ортадан берілген жеке материалды бөлшектің жылдамдығының, үдеуінің, температурасының, кернеуінің, деформациясының және басқа мөлшерлерінің уақыт бойынша өзгеру заңдылықтары зауықтандырады. Ал Эйлердің көзқарасы бойынша зерттеушіні кеңістіктің нүктесінде (немесе нүктелерінде) жылдамдықтың, үдеудің, температураның, кернеудің және басқа мөлшерлердің уақыт бойынша өзгеру заңдылықтары зауықтандырады.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 2, бет 49 – 77). [4]: (тарау 3, бет 111 – 134).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 3, бет 38 – 58).

Бақылау сұрақтары:

1. Материальды бөлшектің лагранждық координатасы уақытпен өзгере ме?

2. Ілеспелі координат жүйесі дегеніміз не?

3. Кеңістік нүктесінің эйлерлік координатасы уақыт бойынша өзгере ме?

4. Лагранждық тәсілден Эйлерлік тәсіл немен айырмашылықта болады?

№8 дәріс. Түпкі деформацияның тензоры.

Тұтас ортаның деформациясын бейнелеу мақсатымен екі жақын материалды бөлшектің орын ауыстыруын қарайық. Бастапқы мезгілде олар Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №73 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №74 - открытая онлайн библиотека нүктелерінде орын алсын (8.1 сурет), ал соңғы уақыт мезгілінде Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №75 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №76 - открытая онлайн библиотека нүктелеріне орын ауыстырсын.

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №75 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №76 - открытая онлайн библиотека нүктелердің арасындағы шексіз кішкентай ара қашықтықтың еке есе дәрежесі мынаған тең: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №79 - открытая онлайн библиотека .

Қозғалысты Лагранжша жазуды негіз етіп алайық. Оқулық [1] келтірілген формула бойынша мынаны жазуға болады: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №80 - открытая онлайн библиотека немесе скалярлық түрде жазсақ мынаны аламыз: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №81 - открытая онлайн библиотека . Нәтижесінде элемент ұзындығының екі есе дәрежесі мынаған тең болады: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №82 - открытая онлайн библиотека (8.1)

Бастапқы уақыт мезгілендегі материалды бөлшектер арасындағы ара қашықтықтың еке есе дәрежесі мынаған тең болсын: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №83 - открытая онлайн библиотека , мұндағы Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №84 - открытая онлайн библиотека – кронекер символы.

Бөлшектердің айналасындағы деформацияның өлшемі ретінде мынандай айырымды алайық:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №85 - открытая онлайн библиотека (8.2)

Егер дененің барлық нүктелерінді мынандай шарт орындалса: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №86 - открытая онлайн библиотека , онда мұндай дененің қозғалысы мүлде қатты қозғалыс деп аталады. Егер дененің М нүктесіндегі инвариантқа мынандай шарт орындалса Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №87 - открытая онлайн библиотека , онда бұл нүктеде дене деформацияланған күйде деп айтылады.

8.1 – сурет. Көлем элементінің түпкі деформациясы
Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №88 - открытая онлайн библиотека

(8.2) теңдеуіндегі мынандай екінші рангілі тензорды: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №89 - открытая онлайн библиотека (8.3)

Лангранждық түсініктегі Коши деформациясының тензоры деп атайды. Осы тензордың алты сыңарларының кейбіреуінің жайылған түрі мынандай болады:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №90 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №91 - открытая онлайн библиотека

Екінші валентті симметриялық тензор мынандай сыңарларымен:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №92 - открытая онлайн библиотека (8.4)

немесе Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №93 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №94 - открытая онлайн библиотека түпкі деформацияның лагранждық тензоры (Грин тензоры) деп аталады.

Осы тензорды орын ауыстыру шамалары кіретін сыңарлары бар тензор түрінде көрсету ыңғайлы. Орын ауыстыру анықталатын мынандай формула жазайық: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №95 - открытая онлайн библиотека

Жоғарыда жазылған формуладан мынаны табамыз: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №96 - открытая онлайн библиотека . Алынған теңдеуді дифференциалдағаннан кейін мынаны аламыз:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №97 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №98 - открытая онлайн библиотека .

Екі соңғы формуларды (8.1) теңдеуіне қойып деформацияланған талшықтың (MN) модулінің екі есе дәрежесі мен орын ауыстырудың мынандай байланысын табамыз:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №99 - открытая онлайн библиотека

Мынандай теңдіктер орындылатын болғандықтан: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №100 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №101 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №102 - открытая онлайн библиотека төмендегі формуланы аламыз:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №103 - открытая онлайн библиотека . (8.5)

(8.2) және (8.5) формуларын салыстару мынаны жазуға мүмкіндік береді:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №104 - открытая онлайн библиотека (8.6)

Сонда, лангранждық түсініктегі Коши деформациясының тензорын орын ауыстыру арқылы мынандай түрде жазуға болады:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №105 - открытая онлайн библиотека (8.7)

ал Грин тензорының сыңарларын орын ауыстыру тензорының функциясы түрінде келесі қатнастар бойынша анықтайды:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №106 - открытая онлайн библиотека . (8.8)

(8.8) формуласы түрінде жазылған Грин тензорының алты сыңарларының кейбіреуінің жайылған түрі мынандай болады:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №107 - открытая онлайн библиотека

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №108 - открытая онлайн библиотека

Қозғалысты эйлерлік түрде бейнелеуді негіз етіп алып деформация тензорлары сыңарларын анықтайтын формулаларды шығаруды қайталайық.

Оқулық [1] келтірілген формула бойынша мынаны жазуға болады: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №109 - открытая онлайн библиотека

Нәтижесінде элемент ұзындығының екі есе дәрежесі мынаған тең болады:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №110 - открытая онлайн библиотека . (8.9)

Ақырғы уақыт мезгіліндегі материалды бөлшектер арасындағы ара қашықтық еке есе дәрежесі мынаған тең: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №111 - открытая онлайн библиотека

Бөлшектердің айналасындағы деформацияның өлшемі ретінде мынандай айырымды алайық:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №112 - открытая онлайн библиотека (8.10)

Соңғы теңдеудегі мынандай екінші рангілі тензорды: Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №113 - открытая онлайн библиотека (8.11)

Эйлерлік түсініктегі Коши деформациясының тензоры деп атайды. Сірә, Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №114 - открытая онлайн библиотека –нің алты сыңарлары Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №115 - открытая онлайн библиотека жаңа симметриялық тензор құрайды және кейбіреуін мынандай формуламен анықтауға болады:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №116 - открытая онлайн библиотека

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №117 - открытая онлайн библиотека

Мынандай сыңарлары бар екінші валентті симметриялық тензорды:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №118 - открытая онлайн библиотека (8.12)

немесе Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №119 - открытая онлайн библиотека Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №120 - открытая онлайн библиотека түпкі деформацияның эйлерлік тензоры (Альмансы тензоры) деп атайды.

Жоғарыда жазылған әдістемені қолданып Альмансы тензорының сыңарларын орын ауыстыру арқылы анықтайтын болсақ мынаны аламыз:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №121 - открытая онлайн библиотека (8.13)

ал Альманси тензорының сыңарларын орын ауыстыру тензорының функциясы ретінде келесі байланыстар бойынша анықтауға болады:

Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №122 - открытая онлайн библиотека (8.14)

Логарифмдік деформация. Әрбір Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №123 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №114 - открытая онлайн библиотека симметриялық тензорлары үшін координат жүйесін бұрып (8.1) және (8.9) тензорлық эллипсоид теңдеулерін диагональды емес сыңарлары нөльге айналатын каноникалық түрге келтіруге болады. Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №114 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №123 - открытая онлайн библиотека тензорының мынандай диагональды түрге келтірілген Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №127 - открытая онлайн библиотека және Мора кернеуінің диаграммасы 2 страница - №128 - открытая онлайн библиотека сыңарлары: