Оценка коэффициентов параболы второго порядка

Оценку коэффициентов параболы второго порядка методом наименьших квадратов дает решение системы нормальных уравнений:

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №1 - открытая онлайн библиотека (18)

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №2 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 5,1 ─ Зависимость между высотами и диаметрами деревьев в древостое (прямая)

Вычислим коэффициенты уравнения параболы второго порядка, описывающей связь высот и диаметров деревьев в древостое. Для выполнения вычислений составим вспомогательную таблицу, анало­гичную той, которую составляли для регрессионного уравнения пря­мой (табл. 20). Подставив найденные значения в систему нормальных уравнений (18), получим

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №3 - открытая онлайн библиотека (19)

Найдем решение системы нормальных уравнений (19). Сначала разделим все уравнения системы на коэффициенты при параметре Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №4 - открытая онлайн библиотека :

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №5 - открытая онлайн библиотека (20)

Таблица 18 ─ Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №6 - открытая онлайн библиотека

H\D 15,6 18,5 21,4 24,3 27,2 30,1 35,9 38,8 41,7 44,6 47,5 50,4 Всего fi*yi
29,4                       58,8
28,5                      
27,6               331,2
26,7           667,5
25,8        
24,9           647,4
           
23,1               438,9
22,2                 355,2
21,3                   149,1
20,4                    
19,5                    
18,6                       55,8
fx 4821,9
∑fi*xi 46,8 129,5 385,2 656,1 870,4 933,1 861,6 698,4 250,2 178,4 332,5 201,6 6170,8  
∑fi*xi2 730,08 2395,75 8243,28 15943,23 23674,88 28086,31 30931,44 27097,92 10433,34 7956,64 15793,75 10160,64 202138,26  
∑fi*xi3 11389,248 44321,375 176406,192 387420,489 643956,736 845397,931 1110438,696 1051399,296 435070,278 354866,144 750203,125 512096,256 7005768,766  
∑fi*xi4 177672,2688 819945,4375 3775092,51 9414317,88 17515623,22 25446477,72 39864749,19 40794292,68 18142430,59 15827030,02 35634648,44 25809651,3 255754430,3  
∑fij*yj*xi 898,56 1820,4 8076,36 14900,76 21232,32 23071,65 15701,4 22229,28 18263,16 6642,81 4723,14 8963,25 5473,44 151996,53  
∑fij*yj*xi2 14017,536 33677,4 172834,104 362088,468 577519,104 694456,665 518146,2 798031,152 708610,608 277005,177 210652,044 425754,375 275861,376 5068654,209  
i 16,62 18,72 20,57 22,18 23,56 24,69 25,59 26,24 26,65 26,83 26,76 26,45 25,91    
∑fij*(yi-i˜)2 20,48 10,15 62,98 137,23 112,97 46,07 51,41 33,80 32,33 4,38 0,94 11,02 8,60 532,36  

Теперь вычтем первое уравнение системы (20) из второго, а второе -из третьего. В результате получим систему из двух уравнений:

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №7 - открытая онлайн библиотека (21)

Теперь вновь разделим уравнения системы (21) на коэффициент, на этот раз при параметре Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №8 - открытая онлайн библиотека :

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №9 - открытая онлайн библиотека (22)

Вычитая первое уравнение системы (45) из второго, получим

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №10 - открытая онлайн библиотека (23)

откуда нетрудно выразить параметр Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №11 - открытая онлайн библиотека :

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №12 - открытая онлайн библиотека (24)

Подставив полученное значение параметра Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №11 - открытая онлайн библиотека в первое уравнение системы (24), выразим из него и вычислим величину параметра Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №8 - открытая онлайн библиотека :

b1 Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №15 - открытая онлайн библиотека (25)

Теперь, воспользовавшись первым уравнением из системы (23), а также значениями параметров Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №8 - открытая онлайн библиотека и Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №11 - открытая онлайн библиотека , вычислим величину Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №4 - открытая онлайн библиотека :

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №19 - открытая онлайн библиотека (26)

В результате выполненных вычислений мы получили регресси­онное уравнение параболы второго порядка, описывающее зависи­мость высоты от диаметра в чистом сосновом древостое:

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №20 - открытая онлайн библиотека (27)

или, с использованием других обозначений:

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №21 - открытая онлайн библиотека (28)

С помощью полученного уравнения регрессии определим тео­ретические высоты Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №22 - открытая онлайн библиотека и сумму квадратов отклонений эмпирических высот от теоретических (табл. 20). Используя сумму квадратов откло­нений 532,36, мы можем вычислить стандартную ошибку регрессион­ного уравнения параболы второго порядка:

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №23 - открытая онлайн библиотека (29)

На рис. 5 изображено полученное регрессионное уравнение параболы второго порядка.

Оценка коэффициентов параболы второго порядка - №24 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 5,2 ─Зависимость между высотами и диаметрами деревьев в древостое (парабола второго порядка)