Основные правила дифференцирования

Дифференциальное исчисление.

§1. Понятие производной функции.

Пусть функция Основные правила дифференцирования - №1 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №2 - открытая онлайн библиотека определена и непрерывна на промежутке X.

Основные правила дифференцирования - №3 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №4 - открытая онлайн библиотека
Возьмем точку Основные правила дифференцирования - №5 - открытая онлайн библиотека . Дадим аргументу x приращение Основные правила дифференцирования - №6 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №7 - открытая онлайн библиотека так, чтобы Основные правила дифференцирования - №8 - открытая онлайн библиотека . Тогда функция получит приращение Основные правила дифференцирования - №9 - открытая онлайн библиотека .

Опр. Производной функции Основные правила дифференцирования - №1 - открытая онлайн библиотека в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Основные правила дифференцирования - №11 - открытая онлайн библиотека

Производную функции обозначают также Основные правила дифференцирования - №12 - открытая онлайн библиотека , Основные правила дифференцирования - №13 - открытая онлайн библиотека . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Выясним геометрический смысл производной. Проведем секущую АВ. Из Основные правила дифференцирования - №14 - открытая онлайн библиотека следуют соотношения: Основные правила дифференцирования - №15 - открытая онлайн библиотека .

При Основные правила дифференцирования - №16 - открытая онлайн библиотека точка В будет двигаться по дуге к т. А, и секущая АВ будет стремиться к положению касательной, т.е.

Основные правила дифференцирования - №17 - открытая онлайн библиотека ,

где Основные правила дифференцирования - №18 - открытая онлайн библиотека - угол между касательной к графику в т. Основные правила дифференцирования - №19 - открытая онлайн библиотека и положительным направлением оси Ох. Таким образом, в геометрическом смысле производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Пример 1.Найти производную функции у=х.

Решение. Для любой точки Основные правила дифференцирования - №19 - открытая онлайн библиотека найдем производную:

Основные правила дифференцирования - №21 - открытая онлайн библиотека .

Пример 2. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - №22 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Для любой точки Основные правила дифференцирования - №19 - открытая онлайн библиотека найдем производную:

Основные правила дифференцирования - №24 - открытая онлайн библиотека

Аналогично можно найти производные всех основных элементарных функций.

Производные основных элементарных функций.

Функция Основные правила дифференцирования - №25 - открытая онлайн библиотека Производная Основные правила дифференцирования - №12 - открытая онлайн библиотека   Функция Основные правила дифференцирования - №25 - открытая онлайн библиотека Производная Основные правила дифференцирования - №12 - открытая онлайн библиотека
C   Основные правила дифференцирования - №29 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №30 - открытая онлайн библиотека
Основные правила дифференцирования - №31 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №32 - открытая онлайн библиотека   Основные правила дифференцирования - №30 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №34 - открытая онлайн библиотека
Основные правила дифференцирования - №35 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №36 - открытая онлайн библиотека   Основные правила дифференцирования - №37 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №38 - открытая онлайн библиотека
Основные правила дифференцирования - №39 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №39 - открытая онлайн библиотека   Основные правила дифференцирования - №41 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №42 - открытая онлайн библиотека
Основные правила дифференцирования - №43 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №44 - открытая онлайн библиотека   Основные правила дифференцирования - №45 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №46 - открытая онлайн библиотека
Основные правила дифференцирования - №47 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №48 - открытая онлайн библиотека   Основные правила дифференцирования - №49 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №2 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №51 - открытая онлайн библиотека
Основные правила дифференцирования - №52 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №53 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №2 - открытая онлайн библиотека   Основные правила дифференцирования - №55 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №56 - открытая онлайн библиотека

Дифференцируемость функции.

Опр. Числовая функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке Основные правила дифференцирования - №19 - открытая онлайн библиотека , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:

Основные правила дифференцирования - №58 - открытая онлайн библиотека ,

где А – некоторое число, Основные правила дифференцирования - №59 - открытая онлайн библиотека - функция от Основные правила дифференцирования - №6 - открытая онлайн библиотека , являющаяся бесконечно малой при Основные правила дифференцирования - №6 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №62 - открытая онлайн библиотека .

Утв. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема1 (о связи между непрерывностью и дифференцируемостью).

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Док-во. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке Основные правила дифференцирования - №19 - открытая онлайн библиотека . Тогда, по определению, ее приращение можно представить в виде Основные правила дифференцирования - №58 - открытая онлайн библиотека . Переходя в этом равенстве к пределу при Основные правила дифференцирования - №65 - открытая онлайн библиотека , получим:

Основные правила дифференцирования - №66 - открытая онлайн библиотека , что соответствует определению непрерывности функции.▲

Теорема 1 является необходимым (но не достаточным) признаком дифференцируемости функции в точке. Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

Пример.

Основные правила дифференцирования - №67 - открытая онлайн библиотека Рассмотрим функцию Основные правила дифференцирования - №68 - открытая онлайн библиотека , непрерывную в нуле. Докажем, что функция не дифференцируема в т. х=0.

Основные правила дифференцирования - №69 - открытая онлайн библиотека ;

Основные правила дифференцирования - №70 - открытая онлайн библиотека .

Т.к. односторонние пределы в нуле не равны, предел Основные правила дифференцирования - №71 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №72 - открытая онлайн библиотека не существует.

Основные правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

Основные правила дифференцирования - №73 - открытая онлайн библиотека.

2.Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго:

Основные правила дифференцирования - №74 - открытая онлайн библиотека.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: Основные правила дифференцирования - №75 - открытая онлайн библиотека .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

Основные правила дифференцирования - №76 - открытая онлайн библиотека .

3.Производная частногодвух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: Основные правила дифференцирования - №77 - открытая онлайн библиотека ( Основные правила дифференцирования - №78 - открытая онлайн библиотека Основные правила дифференцирования - №7 - открытая онлайн библиотека ).

Докажем, например, правило 2 (правила1-3 докажите самостоятельно).

Рассмотрим функцию Основные правила дифференцирования - №80 - открытая онлайн библиотека . Дадим аргументу Основные правила дифференцирования - №81 - открытая онлайн библиотека приращение Основные правила дифференцирования - №82 - открытая онлайн библиотека , аргументу Основные правила дифференцирования - №83 - открытая онлайн библиотека приращение Основные правила дифференцирования - №84 - открытая онлайн библиотека . Соответственно, их произведение получит приращение

Основные правила дифференцирования - №85 - открытая онлайн библиотека .

Составим отношение Основные правила дифференцирования - №86 - открытая онлайн библиотека . Переходя в этом равенстве к пределу при Основные правила дифференцирования - №16 - открытая онлайн библиотека , получим:

Основные правила дифференцирования - №88 - открытая онлайн библиотека

4. Дифференцирование обратной функции.

Если функция Основные правила дифференцирования - №89 - открытая онлайн библиотека имеет обратную функцию Основные правила дифференцирования - №90 - открытая онлайн библиотека и Основные правила дифференцирования - №91 - открытая онлайн библиотека , то обратная функция дифференцируема в точке Основные правила дифференцирования - №92 - открытая онлайн библиотека , причем

Основные правила дифференцирования - №93 - открытая онлайн библиотека .

5.

Дифференцирование сложной функции.

Если функции Основные правила дифференцирования - №94 - открытая онлайн библиотека и Основные правила дифференцирования - №95 - открытая онлайн библиотека дифференцируемы по своим аргументам, то производная сложной функции Основные правила дифференцирования - №96 - открытая онлайн библиотека существует и равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: Основные правила дифференцирования - №97 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, производные сложных функций можно вычислить по формулам:

Основные правила дифференцирования - №98 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №99 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №100 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №101 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №102 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №103 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №104 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №105 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №106 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №107 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №108 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №109 - открытая онлайн библиотека

Основные правила дифференцирования - №110 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - №111 - открытая онлайн библиотека .