Метод Гаусса решения линейных систем

Замечание. Линейная система (2.2) может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Примеры:

1. Метод Гаусса решения линейных систем - №1 - открытая онлайн библиотека . Единственным решением является пара чисел х = 1, у = 2.

2. Метод Гаусса решения линейных систем - №2 - открытая онлайн библиотека . Решением этой системы будут любые два числа х и у, удовлетворяющие условию у = 3 – х. Например, х=1, у=2; х=0, у=3 и т. д.

3. Метод Гаусса решения линейных систем - №3 - открытая онлайн библиотека . Очевидно, что эта система не имеет решений, так как разность двух чисел не может принимать двух различных значений.

Условия существования и количества решений линейной системы будут изучены в дальнейшем, а пока рассмотрим способы нахождения единственного решения системы,

в которой число уравнений равно числу неизвестных: Метод Гаусса решения линейных систем - №4 - открытая онлайн библиотека (2.3)

Пусть Метод Гаусса решения линейных систем - №5 - открытая онлайн библиотека (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на Метод Гаусса решения линейных систем - №6 - открытая онлайн библиотека и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на Метод Гаусса решения линейных систем - №7 - открытая онлайн библиотека где i – номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при Метод Гаусса решения линейных систем - №8 - открытая онлайн библиотека во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

Метод Гаусса решения линейных систем - №9 - открытая онлайн библиотека .

Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можнотаким же образом исключить Метод Гаусса решения линейных систем - №10 - открытая онлайн библиотека из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

Метод Гаусса решения линейных систем - №11 - открытая онлайн библиотека . (2.4)

Здесь символами Метод Гаусса решения линейных систем - №12 - открытая онлайн библиотека и Метод Гаусса решения линейных систем - №13 - открытая онлайн библиотека обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы (2.4) единственным образом определяется Метод Гаусса решения линейных систем - №14 - открытая онлайн библиотека , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

Примеры:

1. Решим методом Гаусса систему Метод Гаусса решения линейных систем - №15 - открытая онлайн библиотека

Вычтем из второго уравнения удвоенное первое, а из третьего – первое, умноженное на 5.

Получим: Метод Гаусса решения линейных систем - №16 - открытая онлайн библиотека . Теперь вычтем из третьего уравнения удвоенное второе, а затем разделим второе уравнение на –7 (коэффициент при у), а третье – на 15 (новый коэффициент при z). Система примет вид:

Метод Гаусса решения линейных систем - №17 - открытая онлайн библиотека . Отсюда z=3, y=2, x=1 – единственное решение системы.

2. Система Метод Гаусса решения линейных систем - №18 - открытая онлайн библиотека после исключения х из второго и третьего уравнений примет вид: Метод Гаусса решения линейных систем - №19 - открытая онлайн библиотека . Если затем вычесть второе уравнение из третьего, то последнее уравнение станет тождеством 0=0. В системе осталось два уравнения: Метод Гаусса решения линейных систем - №20 - открытая онлайн библиотека . Ее решение можно записать в виде: х = -2, у – любое число, z = 7 – y. Таким образом, система имеет бесконечно много решений.

3. Метод Гаусса решения линейных систем - №21 - открытая онлайн библиотека . Применив к этой системе метод Гаусса, получим Метод Гаусса решения линейных систем - №22 - открытая онлайн библиотека ,

откуда Метод Гаусса решения линейных систем - №23 - открытая онлайн библиотека . Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель Метод Гаусса решения линейных систем - №24 - открытая онлайн библиотека , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

Метод Гаусса решения линейных систем - №25 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения линейных систем - №26 - открытая онлайн библиотека .

Предположим сначала, что Метод Гаусса решения линейных систем - №27 - открытая онлайн библиотека Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения Метод Гаусса решения линейных систем - №28 - открытая онлайн библиотека элементов j-го столбца Метод Гаусса решения линейных систем - №29 - открытая онлайн библиотека

Сложив затем все уравнения, получим:

Метод Гаусса решения линейных систем - №30 - открытая онлайн библиотека . (2.5)

Отметим, что Метод Гаусса решения линейных систем - №31 - открытая онлайн библиотека .

(j-й столбец)

(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при Метод Гаусса решения линейных систем - №32 - открытая онлайн библиотека и равен Метод Гаусса решения линейных систем - №24 - открытая онлайн библиотека при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель Метод Гаусса решения линейных систем - №24 - открытая онлайн библиотека , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель Метод Гаусса решения линейных систем - №35 - открытая онлайн библиотека . Рассматривая j = 1,2,…,n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6) . Разделив все уравнения на Метод Гаусса решения линейных систем - №24 - открытая онлайн библиотека , найдем единственное решение: Метод Гаусса решения линейных систем - №37 - открытая онлайн библиотека .

Предположим теперь, что Метод Гаусса решения линейных систем - №24 - открытая онлайн библиотека =0. Тогда система (2.6) примет вид: Метод Гаусса решения линейных систем - №39 - открытая онлайн библиотека .

В этом случае, если все Метод Гаусса решения линейных систем - №35 - открытая онлайн библиотека =0, система выглядит так: Метод Гаусса решения линейных систем - №41 - открытая онлайн библиотека и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из Метод Гаусса решения линейных систем - №35 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения линейных систем - №43 - открытая онлайн библиотека система решений не имеет.

Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии: