Теорема Лагранжа (1736-1813)

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма (1601-1665гг)

Теорема 14.1. Пусть функция Теорема Лагранжа (1736-1813) - №1 - открытая онлайн библиотека определена на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №2 - открытая онлайн библиотека и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее и наименьшее значение. Тогда, если Теорема Лагранжа (1736-1813) - №3 - открытая онлайн библиотека существует производная Теорема Лагранжа (1736-1813) - №4 - открытая онлайн библиотека , то она равна 0, т.е. Теорема Лагранжа (1736-1813) - №5 - открытая онлайн библиотека .

Теорема Лагранжа (1736-1813) - №6 - открытая онлайн библиотека

Доказательство:

Докажем для случая, когда функция принимает в точке с наибольшее значение, т.е. Теорема Лагранжа (1736-1813) - №7 - открытая онлайн библиотека

Пусть Теорема Лагранжа (1736-1813) - №8 - открытая онлайн библиотека определена на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №9 - открытая онлайн библиотека и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее значение: Теорема Лагранжа (1736-1813) - №7 - открытая онлайн библиотека В точке с существует производная Теорема Лагранжа (1736-1813) - №11 - открытая онлайн библиотека Требуется доказать, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - №12 - открытая онлайн библиотека

Дадим точке с приращение Теорема Лагранжа (1736-1813) - №13 - открытая онлайн библиотека так как Теорема Лагранжа (1736-1813) - №14 - открытая онлайн библиотека не вышла за пределы Теорема Лагранжа (1736-1813) - №9 - открытая онлайн библиотека запишем Теорема Лагранжа (1736-1813) - №16 - открытая онлайн библиотека Теорема Лагранжа (1736-1813) - №17 - открытая онлайн библиотека в точке с, функция принимает наибольшее значение, то Теорема Лагранжа (1736-1813) - №18 - открытая онлайн библиотека Теорема Лагранжа (1736-1813) - №19 - открытая онлайн библиотека

1) Предположим, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - №20 - открытая онлайн библиотека т.е. Теорема Лагранжа (1736-1813) - №21 - открытая онлайн библиотека то будем иметь:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - №22 - открытая онлайн библиотека

Переходя к пределу: Теорема Лагранжа (1736-1813) - №23 - открытая онлайн библиотека

2) Предположим, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - №24 - открытая онлайн библиотека т.е. Теорема Лагранжа (1736-1813) - №25 - открытая онлайн библиотека то будем иметь:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - №26 - открытая онлайн библиотека Переходя к пределу:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - №27 - открытая онлайн библиотека

Из двух неравенств Теорема Лагранжа (1736-1813) - №28 - открытая онлайн библиотека следует, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - №5 - открытая онлайн библиотека .

Аналогично, когда в точке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №30 - открытая онлайн библиотека , функция достигает своего наименьшего значения. Теорема Лагранжа (1736-1813) - №31 - открытая онлайн библиотека Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма

Вспомним геометрический смысл производной в точке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №30 - открытая онлайн библиотека : Теорема Лагранжа (1736-1813) - №33 - открытая онлайн библиотека - угловой коэффициент касательной в точке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №30 - открытая онлайн библиотека , а если Теорема Лагранжа (1736-1813) - №5 - открытая онлайн библиотека , то касательная параллельна оси Ох.

Теорема М. Ролля (1652-1719)

Теорема 14.2. Если функция Теорема Лагранжа (1736-1813) - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №2 - открытая онлайн библиотека , дифференцируема на интервале Теорема Лагранжа (1736-1813) - №38 - открытая онлайн библиотека и на концах интервала Теорема Лагранжа (1736-1813) - №38 - открытая онлайн библиотека принимает равные значения Теорема Лагранжа (1736-1813) - №40 - открытая онлайн библиотека , то между точками Теорема Лагранжа (1736-1813) - №41 - открытая онлайн библиотека найдется, по крайней мере, одна точка Теорема Лагранжа (1736-1813) - №30 - открытая онлайн библиотека : Теорема Лагранжа (1736-1813) - №5 - открытая онлайн библиотека .

Теорема Лагранжа (1736-1813) - №44 - открытая онлайн библиотека Доказательство:

Пусть для функции Теорема Лагранжа (1736-1813) - №8 - открытая онлайн библиотека условия теоремы выполняются. Т.к. Теорема Лагранжа (1736-1813) - №8 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №2 - открытая онлайн библиотека по теореме 2 Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свои наибольшие и наименьшие значения: М и т.

Рассмотрим два случая:

1) Теорема Лагранжа (1736-1813) - №48 - открытая онлайн библиотека По определению наибольшего и наименьшего значения Теорема Лагранжа (1736-1813) - №49 - открытая онлайн библиотека из отрезка Теорема Лагранжа (1736-1813) - №2 - открытая онлайн библиотека выполняется неравенство: Теорема Лагранжа (1736-1813) - №51 - открытая онлайн библиотека а производная от Теорема Лагранжа (1736-1813) - №52 - открытая онлайн библиотека

2) Теорема Лагранжа (1736-1813) - №53 - открытая онлайн библиотека Оба эти значения функция достигает на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №2 - открытая онлайн библиотека и так как по условию теоремы Теорема Лагранжа (1736-1813) - №55 - открытая онлайн библиотека то оба эти значения Теорема Лагранжа (1736-1813) - №56 - открытая онлайн библиотека не могут достигаться одновременно на концах Теорема Лагранжа (1736-1813) - №2 - открытая онлайн библиотека . Значит, одно из этих значений достигается внутри интервала Теорема Лагранжа (1736-1813) - №58 - открытая онлайн библиотека , то есть в точке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №59 - открытая онлайн библиотека . В таком случае, мы находимся в условии теоремы Ферма, на основании которой Теорема Лагранжа (1736-1813) - №12 - открытая онлайн библиотека Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Если Теорема Лагранжа (1736-1813) - №40 - открытая онлайн библиотека , то Теорема Лагранжа (1736-1813) - №4 - открытая онлайн библиотека - есть угловой коэффициент касательной и Теорема Лагранжа (1736-1813) - №5 - открытая онлайн библиотека , следовательно, касательная параллельна Теорема Лагранжа (1736-1813) - №64 - открытая онлайн библиотека . Смысл в том, что найдется такая точка Теорема Лагранжа (1736-1813) - №65 - открытая онлайн библиотека , в которой касательная к ней параллельна оси Теорема Лагранжа (1736-1813) - №64 - открытая онлайн библиотека .

Теорема Лагранжа (1736-1813)

Теорема 14.3. Если функция непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №2 - открытая онлайн библиотека и дифференцируемая на промежутке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №38 - открытая онлайн библиотека , то между точками Теорема Лагранжа (1736-1813) - №69 - открытая онлайн библиотека и Теорема Лагранжа (1736-1813) - №70 - открытая онлайн библиотека найдется, такая точка Теорема Лагранжа (1736-1813) - №30 - открытая онлайн библиотека , что имеет место равенство:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - №72 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство:

Пусть Теорема Лагранжа (1736-1813) - №8 - открытая онлайн библиотека - непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №9 - открытая онлайн библиотека и дифференцируема на промежутке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №75 - открытая онлайн библиотека Рассмотрим вспомогательную функцию Теорема Лагранжа (1736-1813) - №76 - открытая онлайн библиотека , где

Теорема Лагранжа (1736-1813) - №77 - открытая онлайн библиотека - удовлетворяет условию теоремы Ролля на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №9 - открытая онлайн библиотека . В самом деле, она непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №9 - открытая онлайн библиотека , как алгебраическая сумма непрерывных функций, следовательно, она дифференцируема на промежутке Теорема Лагранжа (1736-1813) - №75 - открытая онлайн библиотека Ее производная равна:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - №81 - открытая онлайн библиотека Теорема Лагранжа (1736-1813) - №82 - открытая онлайн библиотека достигается непосредственным вычислением. На основании теоремы Ролля между точками Теорема Лагранжа (1736-1813) - №83 - открытая онлайн библиотека существует такая точка с, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - №84 - открытая онлайн библиотека

Но Теорема Лагранжа (1736-1813) - №85 - открытая онлайн библиотека

Отсюда, Теорема Лагранжа (1736-1813) - №86 - открытая онлайн библиотека . Теорема доказана.