Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №1 - открытая онлайн библиотека , (1)

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица

А = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №2 - открытая онлайн библиотека называется матрицей системы, а матрица

А*= Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №3 - открытая онлайн библиотека называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.

Элементарные преобразования систем.

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Метод Гаусса.

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №1 - открытая онлайн библиотека

Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №5 - открытая онлайн библиотека , где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.

dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №6 - открытая онлайн библиотека

Составим расширенную матрицу системы.

А* = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №7 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №8 - открытая онлайн библиотека , откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №9 - открытая онлайн библиотека

Составим расширенную матрицу системы.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №10 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №11 - открытая онлайн библиотека , откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Для самостоятельного решения:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №12 - открытая онлайн библиотека Ответ: {1, 2, 3, 4}.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая решит любую систему линейных уравнений 3- го порядка методом Крамера и методом Гаусса или систему 4 – го порядка методом Гаусса. Достаточно ввести только коэффициенты при переменных системы. Программа выдаст подробный отчет о ходе решения и результатах.

 
  Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №13 - открытая онлайн библиотека

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне выберите необходимый метод решения и следуйте имеющимся в программе указаниям.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Элементы векторной алгебры.

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №14 - открытая онлайн библиотека

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор - Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №15 - открытая онлайн библиотека

Произведение - Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №16 - открытая онлайн библиотека , при этом Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека коллинеарен Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека .

Вектор Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека сонаправлен с вектором Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ­­ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ), если a > 0.

Вектор Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека противоположно направлен с вектором Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ­¯ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ), если a < 0.

Свойства векторов.

1) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека - коммутативность.

2) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека + ( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека ) = ( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека )+ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека

3) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №38 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека

4) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека +(-1) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №38 - открытая онлайн библиотека

5) (a×b) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = a(b Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ) – ассоциативность

6) (a+b) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = a Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека + b Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека - дистрибутивность

7) a( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ) = a Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека + a Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека

8) 1× Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Определение. Если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №54 - открытая онлайн библиотека - базис в пространстве и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №55 - открытая онлайн библиотека , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

- равные векторы имеют одинаковые координаты,

- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №57 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №58 - открытая онлайн библиотека .

- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №59 - открытая онлайн библиотека ; Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №60 - открытая онлайн библиотека ;

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №63 - открытая онлайн библиотека .

Система координат.

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №64 - открытая онлайн библиотека назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №65 - открытая онлайн библиотека = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пример. Даны векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека (1; 2; 3), Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека (-1; 0; 3), Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека (2; 1; -1) и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №69 - открытая онлайн библиотека (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека образуют базис и найти координаты вектора Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №69 - открытая онлайн библиотека в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №74 - открытая онлайн библиотека линейно независимы.

Тогда Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №75 - открытая онлайн библиотека .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №76 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №77 - открытая онлайн библиотека Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №78 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №79 - открытая онлайн библиотека Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D1 = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №80 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №81 - открытая онлайн библиотека ;

D2 = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №82 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №83 - открытая онлайн библиотека

D3 = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №84 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №85 - открытая онлайн библиотека

Итого, координаты вектора Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №69 - открытая онлайн библиотека в базисе Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека : Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №69 - открытая онлайн библиотека { -1/4, 7/4, 5/2}.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая позволит разложить любой вектор по любому новому базису, т.е. решить предыдущий пример для любых векторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №69 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека .

Для запуска программы дважды щелкните по значку:

 
  Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №13 - открытая онлайн библиотека

В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмите Enter.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №96 - открытая онлайн библиотека .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты этой точки определяются как:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №97 - открытая онлайн библиотека

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Линейные операции над векторами в координатах.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №98 - открытая онлайн библиотека тогда

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №99 - открытая онлайн библиотека

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведениемвекторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №102 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = ï Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ïï Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = ï Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ï2;

2) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = 0, если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ^ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = 0 или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = 0.

3) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ;

4) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ×( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №122 - открытая онлайн библиотека ) = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №122 - открытая онлайн библиотека ;

5) (m Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотекаПусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ×(m Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ) = m( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека );

Если рассматривать векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №133 - открытая онлайн библиотека в декартовой прямоугольной системе координат, то

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №134 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = xa xb + ya yb + za zb;

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №137 - открытая онлайн библиотека Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №138 - открытая онлайн библиотека ;

Пример. Найти (5 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека + 3 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека )(2 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека - Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ), если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №143 - открытая онлайн библиотека

10 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека - 5 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека + 6 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека - 3 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = 10 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №152 - открытая онлайн библиотека ,

т.к. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №153 - открытая онлайн библиотека .

Пример. Найти угол между векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №156 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №157 - открытая онлайн библиотека .

Т.е. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = (1, 2, 3), Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = (6, 4, -2)

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = 6 + 8 – 6 = 8:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №162 - открытая онлайн библиотека .

cosj = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №163 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти скалярное произведение (3 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека - 2 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека )×(5 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека - 6 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ), если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №168 - открытая онлайн библиотека

15 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека - 18 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека - 10 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека + 12 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = 15 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №177 - открытая онлайн библиотека

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №180 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №181 - открытая онлайн библиотека .

Т.е. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = (3, 4, 5), Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = (4, 5, -3)

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека × Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = 12 + 20 - 15 =17 :

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №186 - открытая онлайн библиотека .

cosj = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №187 - открытая онлайн библиотека

Пример. При каком m векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №188 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №189 - открытая онлайн библиотека перпендикулярны.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = (m, 1, 0); Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = (3, -3, -4)

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №192 - открытая онлайн библиотека .

Пример. Найти скалярное произведение векторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №193 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №194 - открытая онлайн библиотека , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №195 - открытая онлайн библиотека

( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №193 - открытая онлайн библиотека )( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №194 - открытая онлайн библиотека ) = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №198 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №199 - открытая онлайн библиотека Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №200 - открытая онлайн библиотека = 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведениемвекторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека называется вектор Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека , удовлетворяющий следующим условиям:

1) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №204 - открытая онлайн библиотека , где j - угол между векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ,

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №207 - открытая онлайн библиотека

2) вектор Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека ортогонален векторам Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека

3) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека образуют правую тройку векторов.

Обозначается: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №214 - открытая онлайн библиотека или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №215 - открытая онлайн библиотека .

 
  Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №216 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека

j

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека

Свойства векторного произведения векторов:

1) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №220 - открытая онлайн библиотека ;

2) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №221 - открытая онлайн библиотека , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ïï Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = 0 или Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = 0;

3) (m Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотекаПусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ´(m Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека ) = m( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ´ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека );

4) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ´( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека ) = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ´ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека + Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ´ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека ;

5) Если заданы векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека (xa, ya, za) и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №241 - открытая онлайн библиотека , то

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №242 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека ´ Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №245 - открытая онлайн библиотека

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека .

Пример. Найти векторное произведение векторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №248 - открытая онлайн библиотека и

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №249 - открытая онлайн библиотека .

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека = (2, 5, 1); Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека = (1, 2, -3)

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №252 - открытая онлайн библиотека .

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая может найти скалярное и векторное произведения двух векторов. Для запуска программы дважды щелкните на значке:

 
  Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №13 - открытая онлайн библиотека

В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмите Enter. После получения скалярного произведения нажмите Enter еще раз – будет получено векторное произведение.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №254 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №255 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №256 - открытая онлайн библиотека Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №257 - открытая онлайн библиотека (ед2).

Пример. Доказать, что векторы Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №258 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №259 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №260 - открытая онлайн библиотека компланарны.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №261 - открытая онлайн библиотека , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №262 - открытая онлайн библиотека , если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №263 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №264 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №265 - открытая онлайн библиотека (ед2).

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека называется число, равное скалярному произведению вектора Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека на вектор, равный векторному произведению векторов Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека .

Обозначается Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №272 - открытая онлайн библиотека или ( Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека ).

Смешанное произведение Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №272 - открытая онлайн библиотека по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека .

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №280 - открытая онлайн библиотека Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №281 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека

Свойствасмешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а)хоть один из векторов равен нулю;

б)два из векторов коллинеарны;

в)векторы компланарны.

2) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №285 - открытая онлайн библиотека

3) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №286 - открытая онлайн библиотека

4) Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №287 - открытая онлайн библиотека

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №18 - открытая онлайн библиотека и Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №33 - открытая онлайн библиотека , равен

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №291 - открытая онлайн библиотека

6)Если Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №292 - открытая онлайн библиотека , Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №293 - открытая онлайн библиотека , то

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №294 - открытая онлайн библиотека

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №295 - открытая онлайн библиотека

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №296 - открытая онлайн библиотека ,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №297 - открытая онлайн библиотека

Объем пирамиды Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №298 - открытая онлайн библиотека

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №299 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №300 - открытая онлайн библиотека

Sосн = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №301 - открытая онлайн библиотека (ед2)

Т.к. V = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №302 - открытая онлайн библиотека ; Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №303 - открытая онлайн библиотека (ед)

Аналитическая геометрия.

Уравнение линии на плоскости.

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Определение. Уравнением линииназывается соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №304 - открытая онлайн библиотека Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №305 - открытая онлайн библиотека (3, -1).

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №306 - открытая онлайн библиотека Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №307 - открытая онлайн библиотека

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №308 - открытая онлайн библиотека

если х1 ¹ х2 и х = х1, еслих1 = х2.

Дробь Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №309 - открытая онлайн библиотека = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №310 - открытая онлайн библиотека

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №311 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №312 - открытая онлайн библиотека

и обозначить Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №313 - открытая онлайн библиотека , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека (a1, a2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa1 + Вa2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №17 - открытая онлайн библиотека (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1×A + (-1)×B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №316 - открытая онлайн библиотека Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №317 - открытая онлайн библиотека или

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №318 - открытая онлайн библиотека , где

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №319 - открытая онлайн библиотека

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №320 - открытая онлайн библиотека , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №321 - открытая онлайн библиотека , которое называется нормирующем множителем, то получим

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №322 - открытая онлайн библиотека xcosj + ysinj - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №323 - открытая онлайн библиотека

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №324 - открытая онлайн библиотека

нормальное уравнение прямой:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №325 - открытая онлайн библиотека ; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.

Уравнение прямой имеет вид: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №318 - открытая онлайн библиотека , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №327 - открытая онлайн библиотека или х + у – 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Уравнение прямой имеет вид: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №328 - открытая онлайн библиотека , где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №329 - открытая онлайн библиотека

Для самостоятельного решения: Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(-3, -4) и параллельных осям координат.

Ответ: { x + 3 = 0; y + 4 = 0}.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №330 - открытая онлайн библиотека

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №331 - открытая онлайн библиотека .

Две прямые параллельны, если k1 = k2.

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной прямой.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №332 - открытая онлайн библиотека Определение. Прямая, проходящая через точку М11, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №333 - открытая онлайн библиотека

Расстояние от точки до прямой.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №334 - открытая онлайн библиотека Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №335 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство. Пусть точка М11, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №336 - открытая онлайн библиотека (1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №337 - открытая онлайн библиотека

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, решая, получим:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №338 - открытая онлайн библиотека

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №335 - открытая онлайн библиотека .

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

K1 = -3; k2 = 2 tgj = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №340 - открытая онлайн библиотека ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №341 - открытая онлайн библиотека ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №342 - открытая онлайн библиотека

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №343 - открытая онлайн библиотека . Тогда y = Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №344 - открытая онлайн библиотека . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №345 - открытая онлайн библиотека откуда b = 17. Итого: Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат - №346 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Для самостоятельного решения: Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0,

3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Составить уравнения его высот.

Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере.

Ответ: { x – y = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.

Кривые второго порядка.