Унитарное пространство

Пусть V линейное пространство над полем комплексных чисел. Можно ли обобщить понятие скалярного произведения на такое пространство. Оказывается, да! Для этого достаточно незначительно изменить аксиомы скалярного произведения.

1. Унитарное пространство - №1 - открытая онлайн библиотека .

2. Унитарное пространство - №2 - открытая онлайн библиотека

3. Унитарное пространство - №3 - открытая онлайн библиотека при Унитарное пространство - №4 - открытая онлайн библиотека .

Черта в свойстве 2 обозначает знак комплексного сопряжения. Пространство над полем комплексных чисел, в котором введено скалярное произведение называется унитарным.

Обозначим через G матрицу Грама базисных векторов, то есть матрицу на пересечении строки i столбца j стоит скалярное произведение i-го и j-го вектора Унитарное пространство - №5 - открытая онлайн библиотека . Используя матричные операции умножения, получаем Унитарное пространство - №6 - открытая онлайн библиотека . Матрицы Грама в разных базисах связаны формулой Унитарное пространство - №7 - открытая онлайн библиотека , где P матрица перехода. Все остальные свойства скалярного произведения полностью сохраняются.