ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Направление 080100
«Экономика»
Очная форма обучения
Рязань 2012
Тема №1. Комплексные числа
Комплексными числами называют всевозможные упорядоченные пары действительных чисел , для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:
(1.1)
(1.2)
Действительные числа называют соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначают , .
В декартовой системе координат комплексное число изображается точкой или радиус-вектором этой точки (см. рис.1.1). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось – действительной осью, ось – мнимой осью.
Комплексные числа вида отождествляются с действительными числами : . Тогда умножение действительного числа на комплексное число в соответствии с формулой (1.1) дает
(1.3)
Комплексное число называется мнимой единицей и обозначается символом , причем согласно (1.2)
Любое комплексное число можно представить как
.
Запись комплексного числа = в виде
= = . (1.4)
называется алгебраической формой комплексного числа.
Комплексное число называется сопряженным комплексному числу и обозначается символом .
Для комплексных чисел определены также операции вычитания
и деления
. (1.5)
При арифметических операциях над комплексными числами, представленных в алгебраической форме (1.4), с ними можно обращаться как с биномами вида , учитывая дополнительно, что .
Пример 1.1. Пусть , , ,
. Вычислить число .
Решение: Сначала вычислим числитель дроби первого слагаемого
.
Вычислим знаменатель дроби первого слагаемого:
.
Тогда первое слагаемое дроби будет вычисляться по формуле (1.5):
.
Окончательно вычисляем число
.
Любое комплексное число ( ) можно представить в виде
, (1.6)
где – модуль числа (длина радиус-вектора точки , см. рис. 1.1), – аргумент числа , равный величине угла, на который следует повернуть ось до совпадения с вектором ( больше нуля, если вращение происходит против часовой стрелки и меньше нуля, если вращение происходит по часовой стрелки);
| , где – главное значение аргумента числа , причем считается, что и |
На практике обычно формулу (1.6) используют в виде
= = . (1.7)
Формулы (1.6), (1.7) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.
Тригонометрической формой записи удобно пользоваться, если необходимо возвести комплексное число = в натуральную степень . Для
этого используется формула Муавра возведения в степень:
. (1.8)
Пример 1.2. Вычислить , если , .
Решение:Сначала найдем . Число представим в тригонометрической форме (1.7). Для этого находим модуль и главное значение :
.
Тогда .
По формуле Муавра (1.8) имеем =
Аналогично вычисляем . Для числа модуль , главное значение аргумента ,
.
По формуле Муавра (1.7) имеем
.
Окончательно имеем =
Для извлечения корня натуральной степени из комплексного числа = используется формула
, (1.9)
где означает арифметический корень -ой степени из действительного
положительного числа. Число различных корней равно .
Пример 1.3. Найти .
Решение: Используем представление числа в тригонометрической форме (см. пример 1.2) . Применяя формулу (1.9), получим ( )
. (1.10)
Отдельно подсчитаем все 3 корня (для этого в формуле (1.10) берем соответственно ): ,
,
.
Все три корня можно представить в алгебраической форме, используя формулы половинного аргумента , , а также формулы приведения. Вычисляем
, ,
,
и подставляем в числа .
Отметим все три полученных числа на координатной плоскости. Заметим, что все они имеют один и тот же модуль, равный , то есть они лежат на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргумент числа , как нетрудно видеть отличается от аргумента числа на угол, равный (аналогично с числами и ).
Изобразив число на координатной плоскости, повернем его радиус вектор на угол против часовой стрелки и получим число ; повернув радиус-вектор числа на угол опять против часовой стрелки, получим число (см. рис. 1.2).
Иногда комплексное число = , записанное в тригонометрической форме (1.7), представляют в показательной форме
. (1.11)