Тема №1. Комплексные числа

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Направление 080100

«Экономика»

Очная форма обучения

Рязань 2012


Тема №1. Комплексные числа

Комплексными числами называют всевозможные упорядоченные пары действительных чисел , для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:

(1.1)

(1.2)

Действительные числа называют соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначают , .

В декартовой системе координат комплексное число изображается точкой или радиус-вектором этой точки (см. рис.1.1). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось – действительной осью, ось – мнимой осью.

Комплексные числа вида отождествляются с действительными числами : . Тогда умножение действительного числа на комплексное число в соответствии с формулой (1.1) дает

(1.3)

Комплексное число называется мнимой единицей и обозначается символом , причем согласно (1.2)

Любое комплексное число можно представить как

.

Запись комплексного числа = в виде

= = . (1.4)

называется алгебраической формой комплексного числа.

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу и обозначается символом .

Для комплексных чисел определены также операции вычитания

и деления

. (1.5)

При арифметических операциях над комплексными числами, представленных в алгебраической форме (1.4), с ними можно обращаться как с биномами вида , учитывая дополнительно, что .

Пример 1.1. Пусть , , ,

. Вычислить число .

Решение: Сначала вычислим числитель дроби первого слагаемого

.

Вычислим знаменатель дроби первого слагаемого:

.

Тогда первое слагаемое дроби будет вычисляться по формуле (1.5):

.

Окончательно вычисляем число

.

Любое комплексное число ( ) можно представить в виде

, (1.6)

где – модуль числа (длина радиус-вектора точки , см. рис. 1.1), – аргумент числа , равный величине угла, на который следует повернуть ось до совпадения с вектором ( больше нуля, если вращение происходит против часовой стрелки и меньше нуля, если вращение происходит по часовой стрелки);



, где – главное значение аргумента числа , причем считается, что и  

На практике обычно формулу (1.6) используют в виде

= = . (1.7)

Формулы (1.6), (1.7) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Тригонометрической формой записи удобно пользоваться, если необходимо возвести комплексное число = в натуральную степень . Для

этого используется формула Муавра возведения в степень:

. (1.8)


Пример 1.2. Вычислить , если , .

Решение:Сначала найдем . Число представим в тригонометрической форме (1.7). Для этого находим модуль и главное значение :

.

Тогда .

По формуле Муавра (1.8) имеем =

Аналогично вычисляем . Для числа модуль , главное значение аргумента ,

.

По формуле Муавра (1.7) имеем

.

Окончательно имеем =

Для извлечения корня натуральной степени из комплексного числа = используется формула

, (1.9)

где означает арифметический корень -ой степени из действительного

положительного числа. Число различных корней равно .


Пример 1.3. Найти .

Решение: Используем представление числа в тригонометрической форме (см. пример 1.2) . Применяя формулу (1.9), получим ( )

. (1.10)

Отдельно подсчитаем все 3 корня (для этого в формуле (1.10) берем соответственно ): ,

,

.

Все три корня можно представить в алгебраической форме, используя формулы половинного аргумента , , а также формулы приведения. Вычисляем

, ,

,

и подставляем в числа .

Отметим все три полученных числа на координатной плоскости. Заметим, что все они имеют один и тот же модуль, равный , то есть они лежат на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргумент числа , как нетрудно видеть отличается от аргумента числа на угол, равный (аналогично с числами и ).


   

Изобразив число на координатной плоскости, повернем его радиус вектор на угол против часовой стрелки и получим число ; повернув радиус-вектор числа на угол опять против часовой стрелки, получим число (см. рис. 1.2).

Иногда комплексное число = , записанное в тригонометрической форме (1.7), представляют в показательной форме

. (1.11)