Последовательность функций комплексной переменной. Понятие сходимости и равномерной сходимости последовательности. Примеры

f₁(z), f₂(z), … (27) – функциональная последовательность. При каждом фиксированном z, последовательность превращается в числовую.

Последовательность (27) сходится, следовательно для неё определена некоторая функция.

F: N C(z)

1 f₁(z)

2 f₂(z)

f(z)= .

Последовательность (27) называется сходящаяся, если существует предельная функция f(z).

Рассмотрим предельно широкая область определения.

Последовательность функций (27) по определению будет равномерно-сходящейся, если ( ɛ>0)( N)( z D)( >N) |f(z)-fn(z)|<ɛ.

{fn(z)} f(z)

T. Если члены последовательности непрерывны в некоторой области D, а сама последовательность является равномерно сходящейся в некоторой области, то предельная функция также непрерывна. Весь аппарат вводится для рассмотрения комплексных рядов.