Множества и подмножества

Если все элементы множества В содержатся в множестве А и, наоборот все элементы множества А содержатся в множестве В, то множества А и В называют совпадающими, или равными и обозначают А=В. Например, если А – множество треугольников с двумя равными сторонами, а В – множество треугольников с двумя равными углами, то А=В.

Если каждый элемент множества В является одновременно элементом множества А, причем В не совпадает с А, то множество В называется подмножеством множества А (Рис. 1.3). В этом случае множество В объединяет часть элементов множества А на основе как общих, так и частных признаков, которыми обладают не все элементы Множества и подмножества - №1 - открытая онлайн библиотека . Такое соотношение между множествами называется включением и обознается символом Множества и подмножества - №2 - открытая онлайн библиотека :

Множества и подмножества - №3 - открытая онлайн библиотека - В содержится, включается в А,

Множества и подмножества - №4 - открытая онлайн библиотека - А содержит, включает В.

 
  Множества и подмножества - №5 - открытая онлайн библиотека

Пример 1.1. Если А – множество студентов группы, а В – множество отличников группы, то Множества и подмножества - №6 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1.2. Если А – множество электроизмерительных приборов на складе, а В – множество амперметров среди них, то Множества и подмножества - №4 - открытая онлайн библиотека .

Символы Множества и подмножества - №2 - открытая онлайн библиотека и Множества и подмножества - №9 - открытая онлайн библиотека не исключают того, что множества В может оказаться совпадающим с множеством А. Если же множество В содержит не все элементы множества А, то соотношение между ними записывается с помощью символов строгого включения Множества и подмножества - №10 - открытая онлайн библиотека или Множества и подмножества - №11 - открытая онлайн библиотека . Так если А – множество пар перчаток, а В – множество правых перчаток, то Множества и подмножества - №12 - открытая онлайн библиотека и Множества и подмножества - №13 - открытая онлайн библиотека .

Используя логические символы Множества и подмножества - №14 - открытая онлайн библиотека импликация и Множества и подмножества - №15 - открытая онлайн библиотека квантор общности, определение подмножества можно записать в виде:

Множества и подмножества - №16 - открытая онлайн библиотека ,

что означает: если В является подмножеством А, то для любого b (для всех b) утверждение b принадлежит В влечет за собой утверждение b принадлежит А.

Подмножества обладают следующими свойствами:

- рефлексивности - Множества и подмножества - №17 - открытая онлайн библиотека , каждое множество является подмножеством самого себя;

- транзитивности - Множества и подмножества - №18 - открытая онлайн библиотека и Множества и подмножества - №3 - открытая онлайн библиотека Множества и подмножества - №14 - открытая онлайн библиотека Множества и подмножества - №21 - открытая онлайн библиотека .

Пустое множество является подмножеством любого множества, например возьмем произвольное множество М, то Множества и подмножества - №22 - открытая онлайн библиотека .

Если А и В – конечные множества, то при Множества и подмножества - №12 - открытая онлайн библиотека мощность подмножества В меньше мощности множества А. Если же А бесконечное множество, то подмножество Множества и подмножества - №12 - открытая онлайн библиотека может оказаться равномощным основному множеству А. Например, элементы множества (1.2) принадлежат и множеству (1.1), следовательно (1.2) является подмножеством (1.1) и в тоже время оба множества как эквивалентные равномощны.

Контрольные вопросы

1) Как вводится понятие множества?

2) Какие множества называются эквивалентными?

3) Как вводится понятие мощность множества?

4) Какие множества называются счетными, несчетными, упорядоченными и неупорядоченными?

5) Как вводится понятие подмножество заданного множества?