ЗАДАЧА
В стороне от прямолинейного участка железнодорожного пути, в 20 км от него, лежит селение В (рис. 21). Где надо устроить полустанок С, чтобы проезд от A до В по железной дороге AC и по шоссе СВ отнимал возможно меньше времени? Скорость движения по железной дороге 0,8, а по шоссе 0,2 километра в минуту.
Рис. 21.
РЕШЕНИЕ
Обозначим расстояние AD (от А до основания перпендикуляра BD к AD) через a, CD через х. Тогда AC = AD – CD = a – x, a CB= 
. Время, в течение которого поезд проходит путь АС, равно
.
Время прохождения пути СВ по шоссе равно
.
Общая продолжительность переезда из А в В равна
.
Эта сумма, которую обозначим через т, должна быть наименьшей.
Уравнение
представляем в виде
.
Умножив на 0,8, имеем:
.
Обозначив 0,8m – а через k и освободив уравнение от радикала, получаем квадратное уравнение
,
откуда
.
Так как k = 0,8m – a, то при наименьшем значении т достигает наименьшей величины и k, и обратно. [Следует иметь в виду, что k > 0, так как 
.] Но чтобы х было действительным, 
должно быть не меньше 96 000. Значит, наименьшая величина для есть 96 000. Поэтому m становится наименьшим, когда
,
откуда
,
и следовательно,
.
Полустанок должен быть устроен приблизительно в 5 км от точки D, какова бы ни была длина a = AD.
Но, разумеется, наше решение имеет смысл только для случаев, когда х < а, так как, составляя уравнение, мы считали выражение а – х числом положительным.
Если 
, то полустанка вообще строить не надо; придется вести шоссе прямо на станцию. Так же нужно поступать и в случаях, когда расстояние a короче 5,16 км.
На этот раз мы оказываемся предусмотрительнее, нежели уравнение. Если бы мы слепо доверились уравнению, нам пришлось бы в рассматриваемом случае построить полустанок за станцией, что было бы явной нелепостью: в этом случае х > а и потому время
,
в течение которого нужно ехать по железной дороге, отрицательно. Случай поучительный, показывающий, что при пользовании математическим орудием надо с должной осмотрительностью относиться к получаемым результатам, помня, что они могут потерять реальный смысл, если не выполнены предпосылки, на которых основывалось применение нашего математического орудия.
<Paaaa