Определение неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл является одним из основных понятий раздела высшей математики, называемого интегральным исчислением. Интегральное исчисление занимается методами решения задач, связанных с нахождением функции по ее производной. Неопределенный интеграл определяется через понятие первообразной функции.

Функция называется первообразной для функции на интервале , если для любого х, принадлежащего

.

Например, не трудно видеть, что для функции первообразной является функция , так как .

Найдем производные от функций и .

.

.

Функция имеет две первообразные функции. Найдем разность этих функций .

Следовательно, эти первообразные функции отличаются друг от друга на постоянную величину.

Теорема 4.1о существовании первообразной функции. Для любой непрерывной функции существует бесконечное множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Покажем, что для функции существует первообразная функция , являющаяся площадью криволинейной трапеции с переменной граничной прямой (рис. 56).

Рис.56

Пусть правая граничная прямая изменяет положение от х до . На этом отрезке непрерывная функция достигает своего наибольшего М и наименьшего m значений

, .

Очевидно, значение площади элементарной криволинейной трапеции на отрезке удовлетворяет неравенству . Поделим это неравенство на , получим . При наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке стремятся к одной и той же величине , .

По теореме о промежуточной функции , т. е. является первообразной для функции .

2. Покажем, что для данной функции существует бесконечное множество первообразных функций. Действительно, если к данной функции прибавить любую постоянную величину, то ее производная не изменится

, .

3. Покажем также, что любые две первообразные функции отличаются друг от друга на постоянную величину. Пусть и первообразные функции для . Тогда и . Найдем их разность, получим . Если производная функции равна нулю, то функция является постоянной. Следовательно, , где , и .

Определение неопределенного интеграла.Неопределенным интегралом для непрерывной функции называется выражение , объединяющее множество всех первообразных функций, т. е.

, где , .

Геометрически неопределенный интеграл представляет бесконечное множество интегральных кривых, которые являются «параллельными» между собой.