Возрастание, убывание, экстремумы функции

О п р е д е л е н и е 10.Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если для любых и из этого промежутка, удовлетворяющих условию выполняется неравенство:

О п р е д е л е н и е 11.Точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

О п р е д е л е н и е 12.Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки . Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность с центром в точке , что справедливо неравенство:

О п р е д е л е н и е 13.Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

Т е о р е м а 7(достаточное условие возрастания (убывания)). Пусть во всех точках некоторого интервала функция дифференцируема и Тогда в этом интервале функция возрастает (убывает).

Т е о р е м а 8 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет экстремум в точке , то эта точка - критическая.

Т е о р е м а 9 (достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки за исключением, быть может, самой этой точки. Если в пределах указанной окрестности функция имеет разные знаки слева и справа от точки , то - точка экстремума. Если при этом знак производной меняется

с «-» на «+», то - точка минимума,

с «+» на «-», то - точка максимума.

Если в пределах указанной окрестности функция имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то в экстремума нет.