Для того, чтобы понять, как именно осуществлять нахождение производной для таких функций, рассмотрим пример:
Найти производную для функции:
Возьмём производную от левой и от правой части:
Как брать производную от частей, в которых нет y, рассматривалось выше. Что же с теми частями, где он есть? Рассмотрим каждую такую часть отдельно:
1) 
- производная от функции равна её производной: 
.
2) Как дифференцировать 
По правилу сложной функции (рассматривались выше), так как y –это сама по себе функция, то (sin(y)) – сложная функция, при чем синус – внешняя, y –внутренняя. Таким образом, получаем:
3) Произведение дифференцируем по обычному правилу
:
Стоит также отметить, что (y ^ 2) – тоже сложная функция:
Теперь на соответствующие места подставим полученные значения и получим:
Производная найдена, что и нужно было сделать.