Вычисление производной, для функции заданной неявно

Для того, чтобы понять, как именно осуществлять нахождение производной для таких функций, рассмотрим пример:

Найти производную для функции:

Вычисление производной, для функции заданной неявно - №1 - открытая онлайн библиотека

Возьмём производную от левой и от правой части:

Вычисление производной, для функции заданной неявно - №2 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной неявно - №3 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной неявно - №4 - открытая онлайн библиотека

Как брать производную от частей, в которых нет y, рассматривалось выше. Что же с теми частями, где он есть? Рассмотрим каждую такую часть отдельно:

1) Вычисление производной, для функции заданной неявно - №5 - открытая онлайн библиотека - производная от функции равна её производной: Вычисление производной, для функции заданной неявно - №6 - открытая онлайн библиотека .

2) Как дифференцировать Вычисление производной, для функции заданной неявно - №7 - открытая онлайн библиотека По правилу сложной функции (рассматривались выше), так как y –это сама по себе функция, то (sin(y)) – сложная функция, при чем синус – внешняя, y –внутренняя. Таким образом, получаем:

Вычисление производной, для функции заданной неявно - №8 - открытая онлайн библиотека

3) Произведение дифференцируем по обычному правилу

Вычисление производной, для функции заданной неявно - №9 - открытая онлайн библиотека :

Вычисление производной, для функции заданной неявно - №10 - открытая онлайн библиотека

Стоит также отметить, что (y ^ 2) – тоже сложная функция:

Вычисление производной, для функции заданной неявно - №11 - открытая онлайн библиотека

Теперь на соответствующие места подставим полученные значения и получим:

Вычисление производной, для функции заданной неявно - №12 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной неявно - №12 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной неявно - №14 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной неявно - №15 - открытая онлайн библиотека

Вычисление производной, для функции заданной неявно - №16 - открытая онлайн библиотека Вычисление производной, для функции заданной неявно - №12 - открытая онлайн библиотека

Производная найдена, что и нужно было сделать.