Угол между векторами

Свойства склочного произведения

1. х-у=у-х

2.(Сх)-у=Х-(Су)=С-(ху)

3. (х+у)-z=xz+xy

4. x-(y+z)=xy+xz

Свойство длины вектора

1. ||х^||=х-х

2. ||х||>или= 0

3. ||х|| = 0, х=0

4. ||Сх||=|С| - ||х||

Неравенство Коши-Буняковского

|ху|<или=||х||-||у||

Неравенство треугольника

(||х+у||)^=(||х||+||у||)^

16. Ортогональные векторы(перпендикулярные)

а-в=0

Теорема Пифагора

а ортог. В

||а+в||^=||а||^+||в||^ где а,в принадлежатR^

Угол между векторами

-это число из промежутка [0;П] , cos =_а_-_в_

||а||- ||в||

18. Сложение матриц

(А+В)ij=(А)ij+(В)ij

свойства:

1. А+(В+С)=А+В)+С

2 А+В=В+А

3. с(А+В)=сА+сВ

4. (а+в)А=аА+аВ

Умножение матриц

(сА)ij=c(A)ij

19. Определение умножение матриц. (АВ)ij=(Аij-(B)1j+(A)i2-(B)2j+...+(A)ie-(B)ej

Экономический пример.

у нас есть 3 вида продукции р1,р2,р3 и 2 вида сырья s1,s2.

у нас есть пара расхода сырья

А=| 601 | S1

| 123| S2

В=| 16 |

| 10 | нужно выпустить продук.

| 3 |

6-16+0-10+1- =99

1-16+2-10+3-3=45

ответ: АВ|99|

|45| валовый продукт

20. Матричная запись системы лин уравнений

АХ=В


21.Уравнение межотраслевого баланса.

a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn + y1 = x1

a21x1 + a22x2 +… + a2nxn + y2 = x2;

………………………………..................

an1x1 + an2x2 + …+ annxn + yn = xn

AX + Y = X

X-вектор валового выпуска

Y-вектор конечного потребления

А-матрица прямых затрат

22.Свойства умножения матриц.

1)С(АВ)=(сА)В=А(сВ)

2)А(В+С)=АС+АС

3)(А+В)С=АС+ВС

4)(АВ)С=А(ВС)-ассоциативность умножения

5)АЕ=А 6)ЕА=А

23.Транспонирование. Свойства.

Пусть А-матрица размера m*n.

Транспонированная к ней матрица имеет

размер n*m (АТ)ij=(A)ij Свойства:

1)(АТ)Т=А 2)(А+В)ТТТ

3)(сА)Т=сАТ 4)(АВ)ТТАТ Док-во 4св-ва:

Пусть А размера k*l; В-размера l*m;тогда АВ-k*m

(АВ)T-m*k; ВТ-m*l; АТ-l*k;ВТАТ-m*k;((AB)T)ij=(AB)ji=

=∑ls=1(A)js*(B)si=ls=1(B)si*(A)js= ls=1(B)isT*(A)sjT=(BTAT)ij

24.Определение обратной матрицы.Единственность.

Пусть А и-Кв. матрица порядка n. Тогда кв.матрица

В порядка n.-обратная, если АВ=Е и ВА=Е.

Единственность. У всякой обратимой матрицы .

есть единственная обратная. Док-во:

В1В2-обратные матр.кА

АВ11А=Е В1(АВ2)=В1

АВ22А=Е (В1А)В2=ЕВ22

В12

25.Свойства обратных матриц:

1)Если А обратима, то и обр.матр.обратима

И обратная к обратной=А

2)Если матр. А и В обратимы, то АВ тоже

и (АВ)-1-1А-1

3)А1,...,Аn-обратимые матр.,то А1,...,Аn-обратимы

и (А1,...,Аn)-11-1,...,Аn-1

4)Если Аобратима, то А-1-обратима,(АТ)-1=(А-1)Т

5)Аобратима,Внеобр.,то АВ-необр. Док-во:

От противн.:АВ-Обрат.;АВ=С-обрат.матр.

А-1(АВ)=А-1С

-1А)В=А-1С

В=А-1С-противоречит

26.Решение матричного уравнения АХ=Е

1)случай:редуцированная матр.совпадает с Е

Элемент.преобраз.строк матрицы А привести к Е.

[А|Е]-> [Е|В] В-матр.,для которой выполняется

равенство АВ=Е [В|Е]- >[Е|?]

2)случай;Редуц.ступ.матр.содержит нулевую строчку

[A|E]->[00000000|...] Тогда А не имеет обратной матр.

27.Три условия равносильных обратимости кв.матр.

А-кв.матр 1)А обратима 2) А приводится к Е

3) СЛОУ матрицей коэф.которой является Аимеет только нул.реш.

28.Продуктивная матрица.Необход.и достат.условие неотриц.матр.

Неотр.матр.А наз.продуктивной если для люб.неотриц.столбца У сущ.

Неотр.решение уравнения баланса Х=АХ+У

Теор: Матр.А продуктивна <=>если (Е-А)-обратима и (Е-А)-1-неотр.

Док-во:Х-АХ=У ЕХ-АХ=У (Е-А)Х=У Х=(Е-А)-1У Если У-неот, то и Х

29.Связь между реш. СЛУ и и соотв.СЛОУ

1)Пусть Х1Х2-решение СЛУ

АХ1=В АХ2=В АХ1-АХ2=0 А(Х12)=0 Х12-решение сист.АХ=0

2)Пусть Х1-реш.сист. АХ=В,Н-реш. АХ=0

А(Х1+Н)=АХ1+АН=В+0=В Х1+Н-реш.АХ=В

Всякое реш.ур.АХ=В можно получ.прибавляя к всевозм.реш.ур.АХ=0

фиксир.реш.ур.АХ=В

30.Определение ранга матрицы:

-число строк в любом макс.ЛН наборе строк матрицы

Т:пусть матр.В получ.ЭП из матр.А,тогда r(A)=r(B)

Т:Ранг ступ.матр.-число ненул.строк после ЭП