Исследование системы линейных уравнений

Рассмотрим ступенчатую систему (2.3). Возможны следующие случаи:

1) Если найдется Исследование системы линейных уравнений - №1 - открытая онлайн библиотека , где Исследование системы линейных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека , то система (2.3) несовместна.

2) Если Исследование системы линейных уравнений - №3 - открытая онлайн библиотека , Исследование системы линейных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека , то система (2.3) совместна, Исследование системы линейных уравнений - №5 - открытая онлайн библиотека - главные неизвестные; остальные неизвестные – свободные.

3) Если в системе (2.3) содержится хотя бы одна свободная неизвестная, то система является неопределенной.

4) Если система (2.3) не содержит свободных неизвестных, то данная система является определенной.

2.4. Арифметическое n-мерное векторное пространство.

Определение и свойства

В связи с системами линейных уравнений нам приходилось рассматривать строки длины n, в которые вкладывался разный смысл. Приведение системы или матрицы к ступенчатому виду включало, помимо элементарного преобразования типа (I) два важных акта: умножение строки на число и сложение двух строк. Те же действия можно производить и с решениями однородной линейной системы. С другой стороны, любая строка, что бы она ни выражала, является элементом «универсального» множества Rn - n-й декартовой степени множества R действительных чисел. Поэтому желательно изучить общий объект, свойства которого автоматически переносились бы на матрицы и на решения однородных систем.

Определение. Упорядоченную совокупность, состоящую из n чисел Исследование системы линейных уравнений - №6 - открытая онлайн библиотека будем называть n-мерным вектором.

Исследование системы линейных уравнений - №7 - открытая онлайн библиотека - вектор-строка, Исследование системы линейных уравнений - №8 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №9 - открытая онлайн библиотека вектор-столбец.

Исследование системы линейных уравнений - №10 - открытая онлайн библиотека - координаты вектора Исследование системы линейных уравнений - №11 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим вектор Исследование системы линейных уравнений - №12 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Два вектора называются равными: Исследование системы линейных уравнений - №13 - открытая онлайн библиотека , если равны их соответствующие координаты, т.е.

Исследование системы линейных уравнений - №14 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №15 - открытая онлайн библиотека .

Введем операции:

1. Сложение векторов:

Исследование системы линейных уравнений - №16 - открытая онлайн библиотека

2. Умножение вектора на скаляр:

Исследование системы линейных уравнений - №17 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека

Определение. Множество всех n-мерных векторов с введенными операциями сложения и умножения на скаляр будем называть арифметическим n-мерным векторным пространством Исследование системы линейных уравнений - №19 - открытая онлайн библиотека .

Свойства операций.

Сложение

10 Исследование системы линейных уравнений - №20 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №21 - открытая онлайн библиотека - коммутативность

20 Исследование системы линейных уравнений - №22 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №23 - открытая онлайн библиотека - ассоциативность

30 Исследование системы линейных уравнений - №20 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №25 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №26 - открытая онлайн библиотека - обратимость

10 - 30 - коммутативная группа (или Абелева группа)

Исследование системы линейных уравнений - №27 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №28 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №29 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №30 - открытая онлайн библиотека

Исследование системы линейных уравнений - №31 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №29 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №34 - открытая онлайн библиотека

Умножение

40 Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №29 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №37 - открытая онлайн библиотека

Исследование системы линейных уравнений - №38 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №29 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №40 - открытая онлайн библиотека

Исследование системы линейных уравнений - №41 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №29 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №44 - открытая онлайн библиотека

Исследование системы линейных уравнений - №45 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №17 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №20 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №48 - открытая онлайн библиотека

60 и 70 - дистрибутивные законы

Все 7 свойств дают понятие векторного (линейного) пространства

Линейная зависимость и линейная независимость

Конечной системы векторов

Рассмотрим конечную систему векторов Исследование системы линейных уравнений - №49 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №50 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №15 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Вектор Исследование системы линейных уравнений - №52 - открытая онлайн библиотека будем называть линейной комбинацией конечной системы векторов S, если существует такой набор скаляров Исследование системы линейных уравнений - №53 - открытая онлайн библиотека , что Исследование системы линейных уравнений - №54 - открытая онлайн библиотека . По-другому: вектор Исследование системы линейных уравнений - №52 - открытая онлайн библиотека линейно выражается через вектора системы S.

Определение. Множество всех комбинаций конечной системы векторов S будем называть линейной оболочкой конечной системы векторов:

Исследование системы линейных уравнений - №56 - открытая онлайн библиотека

В линейной оболочке операции сложения и умножения на скаляр – замкнуты:

1) Исследование системы линейных уравнений - №57 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №58 - открытая онлайн библиотека

2) Исследование системы линейных уравнений - №59 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №60 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №61 - открытая онлайн библиотека

Определение. Конечную систему векторов будем называть линейно зависимой, если найдется такой ненулевой набор скаляров (т.е. хотя бы один скаляр отличен от нуля) Исследование системы линейных уравнений - №62 - открытая онлайн библиотека , что выполняется равенство Исследование системы линейных уравнений - №63 - открытая онлайн библиотека (*).

В противном случае, т.е. если равенство (*) выполняется только лишь при нулевом наборе скаляров, систему векторов будем называть линейно независимой.

Свойства

1. Всякая конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.

Доказательство.

Пусть Исследование системы линейных уравнений - №9 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №65 - открытая онлайн библиотека . Докажем, что Исследование системы линейных уравнений - №66 - открытая онлайн библиотека при ненулевом наборе скаляров Исследование системы линейных уравнений - №67 - открытая онлайн библиотека . Пусть, например, Исследование системы линейных уравнений - №68 - открытая онлайн библиотека , Исследование системы линейных уравнений - №69 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Исследование системы линейных уравнений - №70 - открытая онлайн библиотека

Нашелся такой ненулевой набор скаляров, что выполняется равенство (*). Свойство доказано.

2. Если подсистема конечной системы векторов линейно зависима, то сама система линейно зависима.

Доказательство.

Пусть Исследование системы линейных уравнений - №71 - открытая онлайн библиотека , Исследование системы линейных уравнений - №72 - открытая онлайн библиотека -линейно зависима. По определению, Исследование системы линейных уравнений - №73 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №74 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №75 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Исследование системы линейных уравнений - №76 - открытая онлайн библиотека

Нашелся ненулевой набор скаляров Исследование системы линейных уравнений - №77 - открытая онлайн библиотека , следовательно, сама система S – линейно зависима.

3. Любая подсистема данной системы является линейно независимой, если сама система линейно независима.

Доказательство.

Проведем его методом от противного. Предположим, что Исследование системы линейных уравнений - №78 - открытая онлайн библиотека -линейно зависима, тогда по 2 свойству S тоже линейно зависима. А это противоречит условию, значит наше предположение неверно и Исследование системы линейных уравнений - №78 - открытая онлайн библиотека -линейно независима.

4. S – линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор системы S, который линейно выражается через остальные векторы этой системы: Исследование системы линейных уравнений - №80 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство.

Пусть S – линейно зависима, т.е. Исследование системы линейных уравнений - №81 - открытая онлайн библиотека , что выполняется равенство Исследование системы линейных уравнений - №82 - открытая онлайн библиотека

Не ограничивая общности, будем считать, что Исследование системы линейных уравнений - №83 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Исследование системы линейных уравнений - №84 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №85 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №86 - открытая онлайн библиотека - линейная комбинация остальных векторов.

Наоборот, пусть Исследование системы линейных уравнений - №87 - открытая онлайн библиотека является линейной комбинацией остальных векторов: Исследование системы линейных уравнений - №88 - открытая онлайн библиотека . Тогда Исследование системы линейных уравнений - №89 - открытая онлайн библиотека - нашелся искомый ненулевой набор скаляров, т.е. система S является линейно зависимой.

5. S – линейно независима тогда и только тогда, когда

Исследование системы линейных уравнений - №90 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №91 - открытая онлайн библиотека

6. Любая конечная система векторов, содержащая число векторов больше чем n, является линейно зависимой.

Доказательство.

Исследование системы линейных уравнений - №92 - открытая онлайн библиотека

Составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем к Исследование системы линейных уравнений - №93 - открытая онлайн библиотека .

Исследование системы линейных уравнений - №63 - открытая онлайн библиотека

Распишем по координатам:

Исследование системы линейных уравнений - №9 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №96 - открытая онлайн библиотека

k>n (число неизвестных больше числа уравнений), поэтому Исследование системы линейных уравнений - №97 - открытая онлайн библиотека что выполняется равенство Исследование системы линейных уравнений - №66 - открытая онлайн библиотека , т.е. система S является линейно зависимой.